附 录

1. 电动力学方程在洛伦兹变换下的不变性

电磁学的基本定律是法拉第的电磁感应定律、库仑的静电学定律、具有麦克斯韦位移的安培定律，以及库仑的静磁学定律。它们是

curlE = − 1 ∂H

(1)

c ∂t

divE=4πρ (2)

curlH = 4π ρv + 1 ∂E

(3)

c c ∂t

divH=0 (4)

麦克斯韦引入位移电流 1 ∂E ，保证了方程的连续性。

c ∂t

div( ρν) + ∂E

∂t

( 5)

通过以下关系式引入矢量势 A 和标量势ϕ。

H＝cur1A (6)

E = − 1 ∂A − gradϕ (7)

c ∂t

方程组（1），（2），（3），（4）可以由以下方程组替代：

E + 1 ∂A = −gradϕ (a)

c ∂t

□ϕ=-4πp (b)

□A = − 4π ρν (a) c

curlA=H(d)

∂2 ∂2

∂² 1 ∂²

这里 □ = ∂x2

+ ∂y² + ∂z ² − c²

∂t ²

方程（6）和（7）不能由给定的 E 和 H 来完全定义 A 和ϕ，为此洛伦兹引进方程

divA + 1 ∂ϕ = 0

c ∂t

方程组（a）⋯（e）用于电磁场。对于电荷（其密度为ρ）的运动， 洛伦兹引进了（作用于电荷单位体积上的）力的表达式

f = ρE + 1 ρ〔ν × H〕 (f ) c

方程组 （a)、（b)⋯（f)在洛伦兹变换下的不变性

x'μ = ∑a μν xν ，x1 , x2 , x3 , x4 = x, y, z,ict

(8)

1 0 0 iβ

0 1 0 0 

aμ = Υ0 0 1 0 

−iβ β = v ，Υ =

c

这可以从以下考虑中建立起来：



0 0 1 

1

1）前文定义的□算符在变换式（8）中是一个不变算符。2）dx1dx2dx3dx4=dx′1dx′2dx′3dx′4= 不 变 量 3）由于ρdx1dx2dx3=ρ′dx′1dx′2dx′3=不变量(电荷），则ρ必

须按 dx4 变换，即

ρ = ρ 0

1. 由 3）可得 I(ρvx，ρvy，ρvz，icρ）如ds(dx1，dx2，dx3，dx4）变换，即 I 是一个四维矢量。

2. 如果我们建立 A=A(Ax，Ay，Az，iϕ），那么，方程(b）和(c）合起来就可写成

□A = − 4π I

c

但 I 是一个四维矢量。因此按照一个普适定理，A 也必定是一个四维矢量， 四维势。

1. 方程(e）现在变为

∂Aλ

∂xλ

= 0，在λ = 1，2，3，4范围内求和(e）)

1. 如果我们通过以下方程定义张量 F

Fμν

= ∂Aν

∂xμ

0

• ∂Aμ

∂xν

H z

= −Fνμ

• H y

(9)

• iEx 

−H 0 H − iE 

即 F = 

z x y 

μν Hy

• Hx

0 − iEz 

iEx

iEy

iE z

0 

那么方程(a），(d）合起来可用张量方程形式表达

∂Fλμ

∂x ν

• ∂F

∂x λ

+ ∂Fμν

∂x μ

，λ ≠ μ ≠ ν

(a + b)

并且上面(b+C）′可用矢量方程形式表达成

∂Fλμ

= 4π I

( b + c)

∂xμ c

∂Fλμ

这里的 ∂x 隐含着一个μ = 1，2，3，4范围内的求和

1. 方程(f）可写成

cfj=FjνIν，j=1，2，3（x,y,z）

这里隐含在 v=1，2，3，4 范围内的和。如果我们定义cf4=F4νIν=iρ(Ev) (10）

则(f+10）连同(b+c）合起来能写成

f = 1 F I

，λ = 1，2，3，4，

λ c λν ν

= 1 F

∂Fλν ，对ν和μ求和

(f + 10）)

4π λν

∂x μ

由于右边是一个四维矢量，通过一个普适定理，左边 f1，f2，f3，f4 就必定是一个四维矢量。

这样，方程组(a）-(f）全都采用张量方程的形式，并且它们在洛伦

兹变换下的不变性得到了保证。

1. 定义广义场张量 Tλμ

Tλμ

由此

= 4π (Fλμ Fνμ

• 1 δ

4

2

λμ αβ

Txx

= 1 (E² − E² − E² + H ² − H ² − H ² ) 等等

8π

T = 1

xy 4π

(E x Ey + H x H y ) 等等

Tx 4

= − i 4π

(E × H) x

= − i S 等等

c x

T44

= 1 (E² + H ² ) ≡ u 8π

于是，方程(f+10）可写成

f = ∂Tλμ

^λ ∂x

（对μ求和）

(f + 10)'

μ

这里的 S 是坡印廷矢量而 u 是场的能量密度。从方程(f），我们看到 f(f1，

f2，f3）是由场作用在(每单位体积的）电荷密度上的力，而从方程(10），

c

i f 4

是场在ρ上所作功的功率。如果ρ = 0，则场的能量守恒由下式表达

∂T4 μ

∂xμ

= ，或divS + ∂u = 0

∂t