量子统计

1924 年，S．N．玻色指出，把光子作为辐射处理并修正玻耳兹曼发现的它们在相格中分布的方式，有可能得出普朗克的辐射公

式，而不是每一自由度为经典的 1 kT。玻色把他的（英文）手稿送给爱

因斯坦，爱因斯坦发现这非常重要，于是将它译成德文，并送交《物理年鉴》（Zeitschrift f ür Physik）发表。爱因斯坦把玻色的思想推广到分子，并由此而创造了与玻耳兹曼统计相对的玻色—爱因斯坦统计。

1926 年，E．费米和 P．A．M．狄拉克提出了另一种统计法，这种方法适合于像电子、质子和中子这样的粒子。

本书的目的不在于提供任何理论的细节。但以下由于布里渊的贡献而形成的对各种分布的优雅（统一）处理是有趣的。

令类 j 的 Nj 个粒子分布在 Gj 格（或能级 j）内。再让我们假定，第

一个粒子能以 Gj－α种方式分布，第二个粒子以 Gj－2α种方式分布，等等，第 Nj 个粒子是以 Gj－（Nj－1）α种方式分布。Nj 个粒子就能以

Gj（Gj－α）（Gj－2α）⋯（Gj－〔N－1〕α）

种方式分布。由于 Nj 个粒子均是不可区分的，所以不同方式数是由

上面的数除以 Nj！。在 G1 格内分布 N1，在 G2 格内分布 N2 等等，分布方式总数便是乘积。

W = II

G j （G j − α）（G j − 〔N j − 1〕α

N j !

分布 N ，N ，⋯N ，对极大值 W 服从条件① ∑N j = N = 常数，总数目

1 2 j

∑N j ε j

= E = 常数，总能量

由下式给定，

 G j

，玻色—爱因斯坦（α = −1）

e−γ + βε j − 1

N = G ·e^−βε j ，玻耳兹曼（α = 0）

j  j

 G j

e −γ + βε

j + 1

，费米—狄拉克（α = 1）

玻色—爱因斯坦统计，α=－1，意味着粒子有一种聚集在同一格中的趋势；玻耳兹曼统计，α =0，意味着格中有一粒子存在并不影响第二个粒子进入此格中的概率；费米—狄拉克统计，α =1，意味着粒子有一种不进入同一相格的趋势。这最后的情况类似于泡利不相容原理。

玻色—爱因斯坦和费米—狄拉克统计在 Gj＞＞Nj 的极限情况下接近

于玻耳兹曼统计。它们与玻耳兹曼统计的差别在高温与低密度下是很小的。在低温下，4He 显示出很

强的量子效应（爱因斯坦凝聚），而且由于它们的质量小，因而原子或金属中的电子显示出很强的（简并）效应。我们不准备在这里进一步谈这些方面的问题。

再回到能量均分定理，这是我们第 6 节的出发点，经典理

论中每个自由度的平均能量 1 kT，按玻色—爱因斯坦统计，被下式替代

kT →

e ^x − 1

kT，x = hv

可以看到，对于 x<<1，即高温 T 或 h→0，量子理论表达式接近于经典值 kT。