波动力学

这里我们将打破量子力学发展的年代顺序，先来谈薛定谔关于波动力学的工作。德布罗意留下了诸如他的“物质波”的本性和“支配这些波的规律”这类问题。1926 年，薛定谔从哈密顿提出的光学上的费马原理和粒子的莫培督原理之间的密切相似性出发，寻求德布罗意波的规律或方程。基于下述思考，他得出了几何光学和波动光学间的关系。对几何光学，给定光线方向，波前 S 的梯度∇S 为常数时，我们有程函方程

(∇S)² − n ² (r) = 0

利用变分方程，对函数

ψ（r）=exp（kS）

人们可由 S（r）得出波动方程

(∇² + k ² )ψ = 0

薛定谔注意到经典动力学可以纳入哈密顿—雅可比方程形式：

1 (∇S)² − (E − V) = 0

2π

该方程相似于、并可用以“对应”于光学的程函方程。借助于光学情形相同的变分方程，薛定谔对函数

ψ（r）=exp（S/h）

得出波动方程

这就是薛定谔方程。

 h²

 2m

∇² +

(E − V)ψ = 0



至关重要的是，应记住上述程序并非从某种已知原理中推导出薛定谔方程。几何光学和质点力学间的相似以及它们在波动光学和新的波动方程之间的对应关系，并非逻辑的推断。上述说明的意义仅在于表述薛定谔的思路，薛定谔方程实际上是一种新理论的基本假设，甚至在量子力学已发展成为一个完整的结构之后也依然如此。

在这一理论中，玻尔的量子化条件现在已为薛定谔方程的本征值条件

——一种纯数学问题所简单取代（参见书末附录 9）。

薛定谔方程在实际问题中的成功我们已知之甚详，这里不再赘述。在薛定谔得出德布罗意波的（上述）规律后，还有另一个未解决的问

题，即波的意义。1926 年，M．玻恩（1882—1970）提出，积分

∫∫∫ ψ^*Qψdxdz =<Q >

应解释为当系统处于由ψ描述的态时，测量一个物理量 Q 时的（期望）值。

〔当 Q 为一坐标值（例如 x）时我们会更为熟悉。此时ψ*ψdxdydz 为在

（x,y,z）处的体积元 dxdydz 中发现坐标 Q 的概率。〕ψ的这种诠释导致了（从经典物理学的观点看）非常奇怪的结论。它是量子力学的基本假设之一。我们将在下一章中更详尽地讨论它。

按历史的顺序，1927 年，海森伯从爱因斯坦—德布罗意关系

E = hν，p = h

出发，推断出了坐标与其共轭动量的同时值之间的不确定性关系

△x△px ≥h

一个通过（γ射线）显微镜来测量电子的位置 x 及其相伴的康普顿散射中的反冲的例证已众所周知。这个关系是普遍的，只要假设了爱因斯坦—德布罗意关系式，它就是必然的。它已被通称为不确定性原理，是量子力学的基本原理之一。

从这一关系，可立即推断出它与经典动力学的下述基本假设相冲突，即原则上可以以任意的精确度同时知道 x 和 px。由此，在不确定性关系

的基础上，经典动力学失去了它的基础作用；它仅在我们的宏观经验中，即当所涉及的动量如此巨大，以致不确定性△x=h/△px 比之于相关问题微

不足道时才有效。

这里我们要注意，接受了ψ*ψ的概率诠释之后，薛定谔理论不再是牛顿运动方程意义上的“因果”理论。薛定谔方程作为一个微分方程是“因果”的，但这是一种只适用于概率的因果性。

在概要介绍德布罗意和薛定谔理论的起源时，我们试图追寻他们思想的发展轨迹，并强调他们的创造力和独创性。我们也致力于说明，创造力和独创性对重大的突破是必要的因素，同时，掌握一定的基本知识也是很有帮助的。我们应该赞赏德布罗意对哈密顿的工作和相对论理论的知识，赞赏薛定谔在几何光学和波动光学、哈密顿力学及微分方程的本征值问题等方面的造诣。普朗克和爱因斯坦引入了量子论中的革命性概念，但他们都精通经典热力学和统计力学，都基于熵的观点开始自己的新理论。在电磁学的例子中，法拉第的直觉洞察力奠定了电磁场理论的基础，但把它发展成为一个完备的电磁学体系，则有赖于麦克斯韦的独创性和数学知识。我们还可以举出其他例证。爱因斯坦的广义相对论思想在深入研究张量微积分后得以充分发展；狄拉克的灵感来自他早年接触过经典力学中的泊松括号；海森伯的奇异想法借助于玻恩对于矩阵代数——一种当时还不为物理系学生所熟悉的数学——的知识而形成一种理论。这就是人们曾说过的，重要发现的机遇只青睐那些有充分准备的人们。