广义相对论

概而言之，广义相对论就是使相对性原理从惯性系（即匀速相对运动的系，其中力学定律均适用）推广到任意运动的系。这意味着在任意的时

空坐标变换下物理定律保持不变。以数学形式表达，用洛伦兹变换描述的狭义相对论使四维空间间隔 ds2 保持不变，即，

ds² = dx² + dx² + dx ³ + dx⁴ = dx'² +dx'² +dx'² +dx'²

1 2 2 2 1 2 3 4

其中 x1=x，x2=y，x3=z，x4=ict。这是对普通三维空间的一种普遍化，三维空间间隔为

ds2+dx2+dy2+dz2

现在在微分几何学中，我们已有了一种普遍的非欧（黎曼）空间，对于这种空间，我们已讨论过全等性（congruence）概念是不适用的。ds2 一般地由以下公式给出：

ds² = ∑g dx ^μ dx^ν

这里的 gμν是 x＇s 的函数。张量 gμν被称做度规张量，由它定义空间几何学。一个 ds2 能够通过坐标变换而变换成对所有的点 xμ有形式

ds² = ∑dx ^μ2

的空间被说成是平直空间。欧氏空间就是一种平直空间。如果 ds2 不能被变换成这种形式，那么这种空间就可以被说成是弯曲空间。如果从这些定义中得出空间的平直或弯曲性质是空间本身的一种固有属性，那么也就能得出，不存在能够把一个弯曲空间变换成一个平直空间或者反过来也一样的坐标变换。用数学语言来说，一空间的曲率是由一张量描述的。如果曲率张量在一个坐标系中是恒等地非零的，那么它在坐标变换中依然是恒等地非零的。

在物理学中，用张量方程的形式表达的定律是按定义张量的坐标变换从一个参考系变换到另一个参考系的。这些变换把相同空间中的不同参考系联系起来。洛伦兹变换把赝欧氏四维空间中的不同惯性系联系了起来。但从一个惯性系出发，对于平直空间中的被加速的系，至少存在一个参数变换群（这是由 C．莫勒、吴大猷和李荣章发现的）。因此，在平直空间有“广义相对论”是可能的，虽然对于任意被加速的系来说涉及弯曲空间。

爱因斯坦广义相对论认为物理定律在所有任意运动系中都是不变的

（即具有相同的数学形式）。这个陈述的分量在于“相同数学形式”一词。为此目的所用的合适数学工具是张量微分。

一个张量的变换性质（其中矢量是一特例）是由坐标的变换定律定义的。一个物理量必须具有在坐标变换下的变换性质，并且总能用张量形式加以表达。一条物理定律是物理量之间的一种关系，它能被铸成一个张量方程的形式。一旦这样做了，它在坐标变换下的不变性（为此需首先定义张量的量）就自动地得到保证（一个基本的例子是麦克斯韦场方程的洛伦

兹不变性，方程都能以张量形式表达，所有场量都是按照洛伦兹变换的张量变换）。在某种意义上，狭义相对论普遍化达到任意运动系是一个大胆的，但却是十分自然的步骤。

向量代数是吉布斯在相对论之前发明的，张量在电磁学理论和连续介质物理学中已被应用。甚至张量演算——所谓绝对微积分——也已在广义相对论之前的微分几何中得到发展了。但是张量在物理学中使用的充分重要性只有到了相对论才被充分认识。在相对论中，它不是单纯的优美形式体系的问题；它是处理与广义坐标变换有关的协变性概念的自然数学语言。