薛定谔波动力学的出发点

这个出发点是德布罗意与粒子相关联的“物质波”的建议。德布罗意的建议受了基于狭义相对论的考虑的引导。这一点对我们来说也许太熟悉了，因而不必再在此多费笔墨。薛定谔最早（1926 年）的考虑见第九章第 1 节。

粒子动力学与波动光学之间的一种形式关系可以追溯到哈密顿 19 世

纪 30 年代初的工作。对于波动力学，有一个费马最小时间原理，它说的是，在任何介质中，光从 A 点行进到 B 点采取的方式是，它所走的实际路径花的时间为极小值，即

δ∫B ds = δ∫B ds = 0

A u A νλ

此处 ds 是弧元，而 u 是相速度（费马，1601—1655）。在光的微粒论中，有一个莫培督最小作用原理（1732 年），按此原理，光微粒的实际轨道，其“作用”的路径是一极小值。在动力学的变分原理的更普遍的形式中，最小作用原理采取以下形式（对一个在势能为 V 的场中质量为 m 的粒子）

B B B

δ∫A 2Tdt = δ∫A 2m(E − V)ds = δ∫A pds = 0

此处 T 和 E 是粒子的动能和总能量。因此，当动量 p 正比于 1/λ时粒子理论和波动理论就变成等价的了。德布罗意提出了如下关系：

λ = h

p

在薛定谔理论中的第二步是得到一个“波动”方程。指导思想又是从经典动力学中得到的一个提示——哈密顿—雅可比方程的形式

H（q，p = ∂S ，t） = ∂S

∂q ∂t

H 是哈密顿函数，即用广义坐标 qn 和共轭动量 pn 表达的一个系统的总能

量。上述哈密顿—雅可比方程是用 ∂S 代替p 得到的，并因此是一个二次

∂pi

函数 S（q1⋯qn，t）的偏微分方程，这个二次函数被称做主函数。在 H

明显地不依赖于时间的情况下，H－J 方程对 S0（q）=S（q，t）－Et 来说就简化为下面的方程

H（q，p = ∂S ，t） = E

∂q

此处 E 是系统的恒定能量。

在波动理论中，我们有波动方程

∇ ²ψ = 1

u2

∂²ψ

∂t ²

此处ψ=ψ（r，t），相速度 u 是空间坐标 r 的函数。这时就德布罗意波来说，我们有德布罗意关系

由此

而在非相对论性理论中

E = hν，p = h

λ

u = λv = E

p

u =

如果我们假定ψ（r，t）=ϕ（r）e－2πiEt/h 则上述波动方程引出

h2 2

(− ∇ + V)ϕ = Eϕ 8π ² m

h2 2

h ∂Ψ

且( − ∇ + V)Ψ = −

8π² m

2πi ∂t

可以看出，这些方程与哈密顿—雅可比方程具有相同的形式，若在经典哈密顿函数中，动量 p 由算符取代，

p→ h ∂

2πi ∂q

这就导出函数Ψ〔r，t）（或ϕ（r，t）〕的一个线性偏微分方程。上面Ψ的方程叫做薛定谔方程，而对ϕ的方程则是与时间无关的薛定谔方程。必须强调指出，薛定谔方程本身是量子力学中的一个基本公设，不可能从经典理论的已知原理中推导出来。决不可把上述“演算”看做一种推导。

在H − J方程中( ∂ )² 由( h ∂ )代替（以及在上

∂q n 2πi ∂q n

述演算中我们从波动方程∇² Ψ = 1

u2

∂Ψ 出发）乃是因为薛定谔希望假

∂t ²

设一个线性方程，旨在使经典电磁理论中为人所熟知的叠加原理有效。从纯粹的数学观点看，在非线性理论还较鲜为人知的情况下，发展线性理论

是可取的。