非线性与线性

正如马克思指出：“一种科学只有当它达到能够运用数学时，才算真正发展了。”近代科学告诉我们，任何物理现象都可用一组在特定精度内确定的变量描述。如果改变其中的一个，而使其他变量产生不成比例的变化，则称该组变量描述的现象为非线性。以弹簧变形产生弹性恢复力为例，这个物理现象可用两个变量：变形 x 和恢复力 F 描述。设变

形为 x0 时恢复力为 F0，若它们成比例变化，即意味着变形为αx（0

α≠1）

时恢复力为αF0。这里，α为由弹簧变形量决定的数，如设弹簧变形为 x， 则α=x／x0。现若有常数 k 和ε使 F=kx＋εx3，则变形为αx0 时，恢复力

F = kαx

₀ + ε(αx0

)³ = α( kx

• εα ²x³ )

故当ε≠0 时，弹簧为非线性的，当且仅当ε＝0 时弹簧才是线性的。研究非线性问题的理论模型称作非线性系统，通常用非线性方程描述。

丰富多采的现实世界即是非线性的。线性世界是单调乏味缺少变化的世界，如，一个和尚挑一担水，三个和尚挑三担水；一个皮匠制一双鞋，三个皮匠制三双鞋。现实的情况却往往是“一个和尚挑水吃，两个和尚抬水吃，三个和尚没水吃”；“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”。由于

线性问题易于处理，长期以来人们一直把注意力集中于线性问题及与之相近的个别非线性问题，以至于回避甚至遗忘了难以处理的大量非线性问题。这样就容易使人片面地认为，线性问题是普遍的、一般的。

科学史上的先行者们并不愚蠢，他们专注于线性问题的研究是出于无奈。那时，大多数非线性问题远远超出了学者们力所能及的范围。如同教诲晚辈“一分耕耘，一分收获”这种典型线性观的长者也并非不知道“天有不测风云，人有旦夕祸福”这种非线性现象一样。尽管从上世纪末以来便有一些杰出的科学家如庞加莱等提出对非线性问题的真知灼见，但总的说来，线性一统的局面一直维持到本世纪中叶，正是由于电子计算机的问世才打破了这种局面。它是技术进步反过来促进科学发展的一个例证。电子计算机的发展和普及使得对非线性问题的研究成为可能。数值实验的广泛采用是非线性问题尤其是混沌研究的特点。当代的混沌研究者不同于牛顿和爱因斯坦那种沉思默想的科学先贤，他们往往是电脑的爱好者和使用者。混沌研究的现实正是数理逻辑创始人莱布尼兹的梦想：“怀着愿意解决争端的良好意愿的人，心平气和地坐下来拿出纸和笔‘让我们计算吧！’。”只不过现在用的是计算机而非纸和笔。