混沌的特征

一个质量确定的物体的运动决定于什么？有人说，决定于它所受的力，这无疑是对的。但仅仅决定于受的力吗？如以不同的方式抛出同一物体，若略去空气阻力，其所受的外力都是同一个重力，但运动可能是直线，也可能是曲线。这说明运动还取决于初始时刻的位置和速度，通称为初始条件，简称初值。任何时刻的运动都依赖于初值。

混沌运动具有对初始条件的敏感依赖性，简称初值敏感性。即初值的微小差别经过一段时间后会导致系统状态显著的差别。真可谓失之毫

厘差之千里。例如在图 1 所示的系统中，单位质量的质量块连有非线性弹簧和线性阻尼器并受周期外力作用，非线性弹簧的弹性恢复力为 Fk＝

-k1x3，线性阻尼器的阻力为 FC＝-0.05k2v，周期外力 F（t）＝7.5k3cost，其中 x 和 v 分别为质量块离开平衡位置的位移和速度（向右为正），k1， k2，k3 分别为单位不相同的比例系数。对于给定的初始条件，借助计算机可以求出位移随时间变化的曲线（称作时间历程）。对应两组初值 x0

＝3.00cm，v0＝4.00cm／s 和 x0＝3.01cm，v0＝4．01cm／s 的时间历程如图 2 所示，从中可见 10-2 数量级上的初值差别经过不到 50 秒便导致位

移差别为 100 数量级。这种具有初值敏感性的例子在日常生活中并不少

见。例如，某高考考生晚了 2 分钟离开家门，刚好误了一趟 30 分钟一班的车，因迟到而考砸一门课，结果晚入大学一年。所以有人忠告青年人： “人生的路虽很漫长，但紧要处只有几步。”由于对“紧要处”的敏感

依赖，对个人而言，可导致截然不同的人生结局；对于国家，也可导致兴盛或灭亡，如一首英国民谣所述：

钉子缺，蹄铁卸；蹄铁卸，战马蹶； 战马蹶，骑士绝；骑士绝，战事折； 战事折，国家灭。

混沌运动不能长期预测。物理世界的任何量都只能有有限精度，如前例中给出的初值 x0＝3.00cm，v0＝4.00cm／s，只精确到小数点后两

位。第三位数字可以是 0～9 中的任意一个，因而初值中存在不确定性， 有 10-3 量级的误差。可以认为具有初值敏感性的系统对于初值误差的作用不断进行放大。这样随着系统运动时间的流逝，初值中的不确定性起着越来越大的作用。一段时间之后决定运动的己不是初值中以有限精度给定的部分，而是在精度范围之外无法确定而又必然存在的误差，运动的预测便不可能了。由于初值敏感性而具有的长期不可预测性，故被形象地称作蝴蝶效应。一个蝴蝶的振翅，导致大气状态极微小的变化，但在一个月后，千里之外的一场本来不会发生的大风暴发生了。蝴蝶效应是混沌运动的一个生动描述，也说明了长期气象预报的难点所在。

混沌运动是非周期的有限运动。非周期是指不像周期那样周而复始循环往复，有限运动是指既不无限增大发散于无穷，也不无限衰减而趋于静止。以图 1 所示质量弹簧系统为例，从时间历程图 2 中可见，质量

块在平衡位置左侧振动两次后又在右侧振动两次，再在左侧振动 1

次⋯⋯，每个轮回振动次数各异幅值也不同。显然不具有任何周期性而又在一有限范围内往复运动。这里质量块的运动就是混沌运动。

由于混沌运动的上述特征，在宏观的时间尺度上，看不出它与随机运动有任何区别。但混沌产生于由确定性规律支配的系统并没有任何外部随机噪声影响，所以混沌是确定性系统的内在随机性运动。