数学发展的现状与中小学数学教育周青

**编者按：**周青教授原是华东师范大学的一位年轻数学教授，现在在国家 自然科学基金会数理学部担任领导职务，本文中高屋建瓴地提出了一些值得深思的问题，数学教育需要数学家的参与，希望本文能引起读者的关注。

对数学来说，过去的半个世纪是它发展的黄金时代，取得了非常大的成就.特别在最近的三十年中，数学各个分支之间出现了一些有活力的相互交叉和相互渗透，越来越展现出一种内在的统一性；与此同时，数学在外部的应用也表现出了越来越高的自觉性，这种应用的自觉性不仅体现在已有的数学知识的运用上，也体现在一些数学的最新发展中.这两个特征很好地体现了数学作为一门科学的活力.

近年来的所有数学上的重大突破，绝大多数都反映了各主要学科中许多思想日趋统一和各个分支的相互交叉和渗透.这使得数学的整体观念又重新出现了，不同领域的数学家们又重新意识到他们是在从事着一项共同的事业.另一方面，我们的社会越来越离不开数学.从网络计算、信息安全和生物

医学技术到计算机软件，通讯和投资政策都需要数学.这种依赖性不仅表现在依赖于那些已经有的数学理论和方法，而且也依赖于数学的最新突破.一些数学的最新发展很快渗透到应用之中，通过应用又将其它领域中的观念引入数学本身，刺激数学的进一步发展.待别是数学与计算机技术的紧密结合，产生了可直接应用的数学技术，成为许多高新技术的核心.作为一个例子，在波音777 设计过程中，数学模型和强有力的模拟技术代替了许多实验，加速了设计的速度.

数学发展表现出来的这种内在的统一性和在外部应用中的自觉性还将在下个世纪中继续下去.这样的发展现状对我们的数学教育提出了什么样的要求呢？首先在教育中数学应该被当作一个整体来看待，要强调数学各个分支学科之间的联系；其次要注意加强培养灵活运用数学的能力和综合应用能力，注意数学与其它学科之间的联系.而这两点是相辅相成的，数学的整体观念的建立可以帮助理解数学，加强数学综合应用能力；反之，综合应用能力的加强可以帮助我们加深对数学的整体性的认识.

数学应该被当作一个整体来对待.从历史上看，数学原来就是一个整体. 在古希腊的时候，几何就是全部的数学.我们现在代数中的一些命题在那时候都是用几何语言来叙述的，而后来工程技术的需要又曾经使代数成为整个数学的主体.现在我们讲的求和公式 1＋2＋⋯+n＝n（n+1）/2 在古希腊的时候是用下面的图来表达的，而三角形的两边之和大于第三边讲的就是算术平均大于几何平均，至于几何作图与二次方程的求解的关系就更加密切了.

直到十九世纪中叶的时候，数学的分工还不是那么的明确.现在我们还时常赞叹那时候的数学家怎么懂得那么多，曾经在那么多的领域中做出过贡献.二十世纪初叶起数学被人为地划分成众多的分支学科是数学发展的一个阶段，这

使得数学的研究范围大大地扩大了，发展速度也大大地加快了.但是数学还是一个整体.几十年过去以后人们又回头重新建立这种整体的观念.数学教育中要讲一点历史.通常历史的发展与认识论的规律符合得很好，也与逻辑上的先后符合，这对于帮助建立数学的整体观念是有很大好处的.

我们现在在基础教育中遇到的数学内容，所研究的对象都是从我们能看见的现实世界中抽象出来的，在不少地方数学各分支学科的差别仅仅是从不同的角度去看.因为是从不同的角度去看同一件事情，这样数学的各分支学科中就必然有一些自然的联系.看清楚这些联系.会帮助我们领会数学的精髓， 知道数学讲的到底是什么.数学的一个重要任务是为其他科学提供语言、观念和工具，无论是代数的方法还是几何的方法，关键是要能够解决问题.

讲到数学的综合应用能力，绝对不是指那些人为编造出来的难题.我们所处的世界是那么的复杂，我们所遇到的多数问题也不可能仅仅是一个二次方程就能解决的问题，所以再将二次方程的题目分成若干类型的做法对数学来讲是毫无意义的.综合应用能力指的应该是利用数学手段来解决现实世界中可能出现的问题的能力，而无论最后解决问题时用的是代数的还是几何的或者是综合了两者的方法.通过一些典型问题，了解数学的想法是怎样被用来解决实际问题的.这样的做法可以让我们了解数学到底讲的是什么.在了解数学的同时，了解其他学科，运用数学的手段帮助理解其他学科，这是数学的真谛.我以为所有的数学工作者都有义务帮助加强数学和数学以外的学科的交流.

恐怕读者会问基础教育的对象不一定将来都成为数学家，为什么数学教育要与数学的发展联系起来呢？数学的发展体现了社会对数学的需要，有时也是为了满足数学自身的某种需要，而这种自身的需要反映的往往是社会的更深层次的需要.从数学的发展趋势来看数学教育，在某种程度上会反映社会对数学的这种需求.特别是数学现在发展的这种趋势，非常好地反映了现代社会的要求.数学的综合应用能力是现代社会中人人需要的能力，学习数学的目的是使用数学.这是为什么我们要强调数学综合应用能力的原因，而建立数学的整体观念的确可以很好地帮助我们加强数学的综合应用能力.

除了数学发展的趋势以外，数学本身也有一些特征是在数学教育中需要特别注意的.数学是一种文化.我经常用来说明这一点而举的一个例子是国际象棋的发明者索要的奖励的传说.发明者要求国王奖励一些米，在棋盘的第一个格子里放一粒米，以后的每一个格子里放上前一个格子里的两倍，这样米粒的总数是2 ⁶⁴ - 1. 愚蠢的国王对这个很大的数字没有概念，居然很爽快地答应了.当然国王的承诺是无法兑现的.国王犯的错误与我们平时写文章时用的错别字没有什么区别，在这种意义下说数学也是一种修养.实际上数学作为一种文化，还有更深层次的含义，它在人们认识世界改造世界的过程中起很重要的作用.采用很大的数字使我们在实际上无法完成某种任务的想法现在就被用于信息安全领域，被用来设计银行的密码.另外数学教育对提高分析与决策能力，推理与创造能力至关重要.特别是在现在提倡我们民族的创新精神的年代里，数学教育肩负着一个尤其重要的任务.

众所周知：数学教育改革的关键是教师.建立数学的整体观念和提高数学的综合应用能力都与教师的个人素质有关.教师本人对数学的认识甚至对数学以外的一些学科的了解将直接影响到我们所实施的教育的质量.中小学教师是基础教育的实施者，当然是改善我们的基础教育的关键.不仅如此，因为

师范教育和师资培训是大学教育的任务，所以各个大学数学教育的质量也与改善我们的基础教育密切相关.现在我们讲得比较多的是教育制度的改革.制度的改革固然也是重要的，但是将什么都归罪于制度不是很公平.如果不是太功利主义的话，就不需要完全跟着考试的指挥棒跑，那还有什么事情改不了？ 所以就我个人的理解，改革的关键还在于我们教师.

在迈进二十一世纪的时候，希望我们大家可以把握住数学发展的脉搏， 使我们数学的基础教育变得更加理想一些.