在错误解法同正确解法的转化中培养学生的纠错能力

虽然我们谁也不愿意在解题中发生错误，但解题出错的现象却时有发生．当纠正过的错误学生再错，你在抱怨学生没记性、马虎、“笨”的同时可曾想到教师的责任！纠错是解题教学的一项重要内容，纠错能力是解题能力的一个重要组成部分．我们以为：当学生解题出错时，教师不仅要指出错误原因，给出正确解法，而且应尽可能地挖掘学生“错解”中的“闪光点”， 引导学生从错误解法走向正确解法，同时着力研究如何避免类似错误的发生．

例1 已知α、β是实系数方程x² ＋x＋P = 0的两个虚根，且|α - β|= 3， 求P的值．

α + β = -1 ①

错解 根据韦达定理αβ = p ②

于是 9 = ｜α - β｜² = （α - β）²

= （α + β） ² - 4αβ = （ - 1）² - 4p， 解得p = -2．

显然，若P = -2，则原方程有实根，与所设矛盾．

产生错误的原因：x∈R时有|x|² = x ²，但当z ∉R时，| z|² ≠z²，因而

|α - β|² ≠（α - β）² ． 以下给出正确解法：

设α = α＋bi，β = α - bi（b＞0）代入 ①

1

得 2α＝－1，α = - 2 ③

代入｜α - β｜ = 3得｜2bi｜ = 3，b = 3 ． ④

2

1 3 1 3

由③、④得α = - 2 + 2 i，β = − 2 − 2 i，

p = αβ = ( 1 3 i)( 1

3 i)

− 2 + 2

1 9 5

− 2 − 2

= 4 + 4 = 2 ．

评析 以上纠错指出了错因，也给出了正确解法，但笔者以为：上述纠错方法不是最佳的纠错方法．因为以上纠错中还存在下列几个问题：

1. 遇到一元二次方程的根与系数的问题，特别是题目中含有两根之

差的条件时，想到通过公式（α - β）² = （α＋β）² - 4αβ实现解题目的，即想到通过“平方”解题的想法应该是常规思路，上述错解错在误用了｜z｜² = z²．能用学生上述错解中“平方”的思想实现解题目的吗？

1. 上述正确解法似给人一种感觉：遇到复数问题都要设 z=a＋bi（a、

b∈R）化“复”为“实”，是这样吗？

笔者引导学生分析上述错误的过程，发现：（1）尽管在复数集中| z|²

≠z²，但却有｜z｜ ² = ｜z² ｜，能否利用这种“平方”关系解题呢？(2)错解中漏用一条件“α、β为实系数方程x²

• x + p = 0的两个虚根”，而错解中的“（α + β） ² - 4αβ = 1- 4P”又正好是判别式△，由α、β为虚根知1 - 4P＜0，从而有：

∵α、β为实系数方程x² + x + p = 0的两虚根，

∴△=1-4p＜0，

9＝｜α - β｜ ² = ｜（α - β） ²｜

= ｜（α＋β） ² - 4αβ｜ = ｜1 - 4p｜ = 4p - 1．

5

∴ P = 2 ．

这就实现了用错解中“平方”的思想获得问题的正确解法，同时也说明遇到复数问题时不一定都要化“复”为“实”！

学生为什么会误用｜z｜ ² = z² ？在复数集中一般地｜z｜² ≠z²，那么， 复数z²与｜z｜ ²有没有相等关系，如有，有怎样的相等关系？

其实，复数的三角形式

z=｜z｜（cosθ＋isinθ）

（通常此处的｜z｜用 r 表示）就明明白白地给出了复数 z 与｜z｜的关系， 由此易得

z² = ｜z｜ ²（cos2θ＋isin2 θ）

这就是复数z² 与｜z｜² 的一个“肯定”的关系式（此处的“肯定”相对于｜z｜² ≠z²中的“否定”而言）．

cos2θ = 1

当 sin2θ = 0

cosθ = 1

即 sinθ = 0 或

cosθ = -1

sinθ = 0

即 z为实数时，｜z｜² = z²；

当z为虚数时，｜z｜ ²≠z ²，而是

z ² = ｜z｜ ² （cos2θ＋isin2θ）．

笔者的教学实践表明：学生一旦明白了以上z ²与｜z｜ ²的关系后，再遇到z²与｜z｜ ²的关系时就不会再犯错解中的那种错误了．

通过举例说明｜z｜ ²≠z² ，用“堵”的办法给出｜z｜² 与z²关系“治标不治本”，通过研究z²与｜z｜ ²的内在关系（其实也不需要多少时间！

）给出|z|² 与z² 的关系z² = ｜z｜ ²（cos2θ + isin2θ）“治标又治本”．

同样，纠错教学中指出解法错误而另起炉灶去纠错也是“治标不治本”， 善于捕捉错解中的“闪光点”，引导学生从错解到正解才是“治标又治本”．

**思考：**如把例 1 中“虚”字去掉将怎样？