通过联想、比较法进行“发现”思维训练

联想、比较法是指从一事物的现象或本质、功能、结构出发，通过广泛的联想和比较，发现与创新事物联系的创造思维方法．借助联想、比较，人们可以扩大感知认识领域，把以前认识过的事物与所要发明创造的新事物联系，克服两个概念在意义上的差距，甚至使之“风马牛相及”．因此，启迪学生合理联想和比较也是进行“发现”思维训练的一种途径．

例 3 设 P (x) = x² - 2，P (x) = P [P (x)](k = 2，3，

)．求证：对于任

1 k 1 k -1

意正整数n，方程Pn (x) = x的根都是不同的实根．

分析 根据题设条件，P (x) = P [P (x)] = [P (x)]² - 2，即 1 P (x) = 2[ 1

k 1 k -1 k-1

2 ^k 2

P (x)]² - 1．(*)根据(*)式的结构特征，启迪学生灵活地从记忆中提取需要的表象进行联想，将(*) 式与公式cos2 ^k θ = 2cos 2^k-¹ θ - 1作比较，猜想P

(x) = 2cos 2 ⁿ θ(n ∈ N)，利 用 变 换x = 2cosθ(｜x｜≤2)，将方程“P ( x)

= x”转化为三角方程“2cos 2 ⁿ θ = 2cosθ”，从而获得证明的思路．

a − b b − c c − a

例4 证明：三个分式 1 + ab 、 1 + bc 、1 + ca (a、b、c ∈ R)之和等于其

积．

分析 如果按照一般的思考方法，解题过程将相当繁琐，也达不到思维训练的目的．若能启发学生从三个分式的结构联想两角差的正切公式，设 tg

a - b b - c

α = a，tgβ = b，tgγ = c，则tg(α - β) = 1 + ab ，tg( β - γ) = 1+ bc ，tg( γ

- α) = c - a

1 + ca

，故只需证明：

tg(α-β)+tg(β-γ)+tg(γ-α)

=tg(α-β)tg(β-γ)tg(γ-α)，而这个恒等式是我们所熟悉的．

客观事物以各种不同的表象形式储存在人们的大脑中，一旦需要，就从相关的事物表象的排列、组合、比较中，建立各种方式的联系，产生广泛的联想．这就要求我们必须具备丰富的知识，只有这样，才能灵活、准确地从大脑记忆中提取需要的表象知识，并获得应用，且不会枯竭．