1. 在对通法与特技、繁解与简解的辩证认识、演变中促进学生能力 的提高

   1. 通法与特技并重

我们以为：应辩证地看待通法与特技之间的关系：(1)某种方法称为通法，是指相对于一类问题普遍适用的方法，如把问题的范围改变，这种通法就可能变为特技，即通法与特技具有相对性．(2)任何一个可解决的数学问题，其结构(个性特征)与解决它的方法之间必然存着其和谐的、令人觉得赏心悦目的内在联系，更何况作为一位解题者谁不想自己的解法既巧又简？一个问题的一种巧解妙证往往可能是它的本质解法，即有可能是这类问题的本质解法．

例 4 三棱锥 P-ABC 中，PA=a，AB＝AC=2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60

°，求三棱锥 P-ABC 的体积．

解法 1 如图 2，设 P 在底面 ABC 上的射影为 O，依题意计算得△PAB

中AB边上的高PE = 3 α，进而求得PO＝

2

6 α．

2

∴V = 2 α² ．

P- ABC 3

解法 2 在△PAB 中，

∵PA = a，AB = 2a，∠PAB = 60°，由余弦定理得PB = 3，

∴∠APB=90°，同理∠APC=90°．

∴AP⊥平面 PBC．

∵S△PBC

= 2α² ，

∴V = V = 1 2α ² ⋅ AP = 2 α ³．

P- ABC A- PBC 3 3

一般以为，解法 1 是本题的通性通法(求底面积和高)，解法 2 是巧解特技(理由是一般问题中并不一定有 AP⊥平面 PBC)，但我们认为：解法 1 是机械使用体积公式的解法；解法 2 则是在对问题有了本质理解基础上的通性通法，因为它体现了对体积问题的本质认识；Sh 的本质是线面垂直．解法 2 是对求解体积问题形成了一个自然、流畅的思维链“V=Sh—底面积·高—直线和平面垂直—线线垂直”后的自然产物，学生一旦对体积问题有了以上深刻认识，处理体积问题时就有了明确的解题方向．

1. 在解题教学中，应坚特由繁解到简解的训练，在繁解到简解的转换中促进学生能力提高．

例 5 试证明：

arctg 1 + arctg 1 +Λ +arctg 1 = arctg(n + 1) − π ．

3 7 1+ n + n² 4

证法1 Θ arctg 1

1 + n + n²

= arctg (n + 1) − n = arctg(n +1) − arctgn， 1+ n(n + 1)

(∗)

∴ 令n = 1，2，Λ ，n并把各式相加便得arctg 1 + arctg 1 +Λ +arctg 1

3 7 1 + n + n²

= arctg(n + 1) − π ．

4

证法 1 简洁、精炼，然而学生在敬佩之余却弄不明白你是怎样想到(*) 式而我为什么想不到，久而久之，在学生的心目中留下一个数学神秘、难学的印象．其实，我们很容易在该题的数学归纳法的证明中发现(*)式．

证法 2 (数学归纳法)n=1 时，命题显然成立； 设 n=k 时有

arctg 1 + arctg 1 +Λ +arctg 1 = arctg(k + 1) − π ．

3 7 1 + k + k² 4

当n = k + 1时，由归纳假设有

1 1 1 1

arctg 3 + arctg 7 +Λ +arctg 1 + k + k2

+ arctg 1 + (1 + k) + (1 + k ² )

= arctg(k + 1) π arctg

4

1

1 + (1+ k) + (1 + k)² ．

从而要证

1 1 1 1

arctg 3 + arctg 7 +Λ +arctg 1 + k + k2

= arctg(k + 2) −  π ．

4

+ arctg 1 + (1 + k) + (1 + k) ²

π 1 π

只要证 arctg(k + 1) − 4 + arctg 1 + (1 + k) + (1 + k)2 = arctg(k + 2) − 4 ．

1

即 arctg(k + 2) − arctg(k + 1) = arctg1 + (1+ k) + (1+ k)2 ．

这只要两边取正切并利用正切函数的单调性易证．此式就是(*)式． 综上，原命题对一切自然数 n 都成立．

如果先讲证法 2(常规解法，繁解)，在对证法 2 的分析中抽取关键的一步((*)式)到证法 1(特殊解法，简解)则学生会觉得自然、流畅．笔者的教学实践表明：如果用这种方式在高二时向学生介绍数列求和的裂项抵消法，效果奇佳．