通过映射、变换法进行“发现”思维训练

数学中，常将某一变量看作另一变量的函数(从简单到复杂)；反过来， 把问题中的复杂的解析式当作单一字母(从复杂到简单)处理，这就是变量变换，也就是某种特定的映射．通过映射，可使问题从未知领域向已知领域转化，从而不断发现新的知识．因此，映射、变换法也成为我们进行“发现” 思维训练的一种有效手段．

例 5 设 A、B、C 是△ABC 的三个内角，则有恒等式(或不等式)：

tgA＋tgB + tgC = tg Atg Btg C， ①

0＜sinA＋sinB + sinC≤ ， ②

试问：你能从这些熟知的恒等式( 不等式) 中，导出关于 A 、 B C

2 2 2

的恒等式( 或不等式) 吗？

π A

π B π C

分析 通过变换：A′ = 2 − 2 ，B′ = 2 − 2 ，C′ = 2 − 2 ，由题

设条件可知，A′、B′、C′均为锐角，且A′ + B′ + C′ = π，故A′、B′、C′是一个三角形的三内角，由恒等式①得： tgA′＋tgB′ + tgC′ = tgA′tgB′tgC′，

A B C

即有 ctg 2 + ctg 2 + ctg 2

A B C

ctg ctg ③

2 2 2

同理，从不等式②可得

0＜ cos A + cos B + cos C ≤ 3 3 ． ④

2 2 2 2

从上述变换启发学生发现结论：“如果对于△ABC 的三内角 A、B、C 的三角恒等式(或不等式)成立，则其半角的余函数所对应的恒等式(或不等式) 也成立”．

这一变换(映射)手段，巧妙地从已知定理发现了新的定理，简直象魔术师手中的魔棍，变幻无穷，妙不可言，令学生惊叹不已．