通过类比、归纳法进行“发现”思维训练

类比法是一种从个别到个别(或特殊到特殊)的思维方法．它是在甲、乙两个(或两类)事物之间进行对比，从它们的某些类似或相同(相异)的属性出发，根据甲具有某一种属性，推出乙可能也有与之类似或相同(相异)的另一属性．

归纳法是通过对一个或几个具体的、特殊的问题研究，探索并发现其共性或一般规律的发现方法．

由于类比和归纳发现法都可以使学生从对一类事物(或个别事物)的认识推移(推广)到对另一类事物(或一般事物)的认识，扩大了认识的领域，是创造思维的一种形式．因此，它是进行“发现”思维训练的一种行之有效的途径．

如在立体几何和数列教学中，我们经常可采用类比、归纳发现法设计教学，进行“发现”思维训练．鼓励学生大胆类比、尝试、猜想，不但可以发现新的知识，而且还可以从类比对象的解决方案中得到启发，从而悟出解决新问题的方法和途径，或从个别情形入手，归纳发现一般结论．

例 1 给出平面几何命题：“正三角形 ABC 内任一点 P 到各边距离之和是一定值，且定值为此三角形的高．”试完成下列问题：

1. 通过类比，写出相应的立体几何命题．

2. 从以上平面几何问题的解法中，探索出相应的立体几何命题的证明方法．

分析 正三角形与正四面体类比，即得相对应的立体几何命题为：“正四面体 ABCD 内任一点 P 到各个面的距离之和是一定值，且定值为此四面体的高．”以上平面几何命题的证明方法是“面积分割法”．因此，此立体几何命题的证明可采用“体积分割法”进行尝试，并获得证明．

例2 试通过数列｛n｝的部分和S ，探求数列｛n² ｝的部分和S ′．

分析 个别尝试，完成下表：

通过上表，寻求规律：

n 1 2 3 4 5

1² ＋2² ＋ ＋n ²

1 + 2＋ ＋n

3 5 7

3 3 3

9 11

3 3

S′n   2

激励学生，发现规律：即数列



是首项为1，公差为 的等差数列，

n 

从而

S′n 2 1

S = 1 + (n - 1) 3 = 3 (2n + 1)，

1

得 Sn′ = 3 (2n + 1)·Sn

1

= 6 n(n + 1)(2n + 1)．

通过以上这样的“发现”思维训练设计，不但可以激发学生的思维，也

提高了他们学习数学的兴趣和信心，使他们尝到了探索问题和发现问题的乐趣，从培养创造力的角度看，其效果要比那种传统的封闭式教学方法好得多．