在数与形的转换中培养学生的能力

我们以为对代数解法和几何解法的关系应形成以下两点意识：

  1. 既然数与形是客观世界的两种不同表 现形式，我们以为：一个问题如有其简洁的代数（几何）解法，一般地，它应有其不太繁杂的几何（代数） 解法．这是我们在有了一个问题的代数（几何）解法后充满信心地寻找它的几何（代数）解法的基础（依据）．当然，对于一个问题，人们可以早已有了它的简洁的代数（几何）解法，但却没有它的相应简洁的几何（代数）解法，对此现象我们认为：一般不是没有相应的解法，而是人们对此问题的认识还不太深刻，一时没有找到相应的解法．

例 2 求证：

(a 2 + b2 + ac)2 + (a 2 + b2 + bc) 2

a 2 + b 2

≥(a + b + c) 2 ．

多篇文章以为本题采用代数证法较难，进而给出下列借助点到直线距离公式求解的几何解法．

观察不等式的结构，将其变形为：

(a 2 + b2 + ac)2 + (a 2 + b2 + bc)2

(a2 + b2 )2

(a + b + c) 2

≥ a 2 + b2 ，

即 (1 +

ac

a 2 + b2

) 2 + (1 +

bc

a 2 + b2

) 2 ≥ |a + b + c| ．

(∗)

不等式（*）的几何意义是明显的：左边的点 P（1，1）与点 M（

  • ac

a 2 + b 2

bc

， − a2 + b2

）间的距离；右边是点P到直线l：ax＋by + c = 0的距

离．易知，点M在直线l上，因此，从几何上看不等式（ * ）成立，于是， 可证原不等式成立．

以上从几何的角度思考的方法是正确的，但由原不等式到（*）的变形等却是较为困难的．由题目的结构特征易联想到柯西不等式，而柯西不等式的一个几何意义正是点到直线的垂线段最短．把原不等式变形为

（a 2 + b2 + ac）2 + （a 2

  • b2 + bc） 2

≥（a2 ＋b2）·（a＋b＋c）2 ，

借助柯西不等式的特例

A 2 + B2 ≥ |A + B|

运用差异分析法（比照式子右边的特点对左边进行展开整理）有下列较为简洁的代数解法：

(a2 + b2 + ac) 2 + (a 2 + b2 + bc) 2

= [(a 2 + b2 ) 2 + 2ac(a2

  • b 2 ) + a2c 2 ] +[(a2
  • b 2 )2 + 2bc(a 2 + b2 )
  • b2c2 ]

= (a 2 + b2 )[2(a 2＋b 2 ) + 2c(a + b) + c 2 ]

≥(a 2 + b2 )[(a + b) 2 + 2c(a + b) + c2 ]

= (a 2 + b2 )(a＋b＋c) 2 ．

  1. 华罗庚教授说得好“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．我们在平时的解题教学中，应既研究一个问题的代数解法又研究一个问题的几何解法，充分发挥“形”对“数”的直观作用．“数”对“形”的入微作用，在对两法的转换、比较中，加深对问题的深入理解，促进学生能力的提高．

例 3 正数 a、b、c、A、B、C 满足条件a＋A=b+B=c+C=k．

**求证：**aB＋bC＋cA＜k 2．

(1981 年第 21 届全苏数学竞赛题) 本题有一个很精美的几何解法：如图 1，作一个边长为 k 的正三角形 PQR，

分别在各边上取 QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c，

在数与形的转换中培养学生的能力 - 图1则有面积关系：S△LRM

  • S△MPN + S△NQL ＜S△PQR ，即

1 aBsin60° 1 ° 1 °＜ 1 k2sin60°．

2 + 2 bCsin60 + 2 cAsin60 2

得 aB＋bC＋cA＜k2 ．

以上解法确实精美，常常作为数形结合的典型范例出现在多种杂志上，

以至于很少有人去想它的代数解法．

这个问题有简单的代数解法吗？还是让我们来分析以上几何解法．这个精美的解法精美之处在于运用了一个很平凡的事实：“部分小于全体”，就是“3 个三角形之和小于 4 个三角形之和”．罗增儒教授巧妙地把这一事实换一种形式表示，法 b≥A 的连 QM，则

S△LRM ＜S△MQR ，

S△MPN ＋S△NQL ＜S△MPN + S△NQM = S∆MPQ．

经过这一分离，新的形式提供了新的机会，即摆脱图形直接用代数放缩法证明．

不妨设 b 为 a、b、c、A、B、C 中的最大值，有 aB＜kB，bC+cA≤bC+cb=kb．

相加，aB＋bC + cA＜k(B＋b) = k 2 ．

得到一个甚至比几何证法更为精美的证法．这个证法没有一点几何痕迹，但它确实是由几何证法“翻译”过来的．