第二章 概率计算

在本章内我想把概率论作为纯粹数学的一个分支来加以论述，演绎出某些公理的结论而无需给它们以这种或那种的解释①。我们可以看到，尽管人们对于这一领域内的解释意见不一，这种数学计算本身还是与数学中其它任何分支享有同样程度的公认。这种情况并不是概率论所特有的。微分学的解释约近二百年来一直是数学家和哲学家争论的一个题目；莱布足兹认为它包括真正的极小数，直到魏尔斯特拉斯这个看法才被完全否证。再举一个更带基本性质的例：对于初等算术从来没有发生过什么争论，但是自然数的定义却仍然是一个争论未决的问题。所以对于“概然性”的定义有疑问而对于概率计算没有（或很少有）疑问这一点我们就不必感到奇怪了。

按照约翰逊和凯恩斯的办法，我们用“p/h”来表示这个不下定义的概念： p 在已知 h 的条件下的概率。当我说这个概念是不下定义的概念时，我的意思是说它只由将要列举出来的公理或公设来下定义。任何可以满足这些公理的东西都是概率计算的一个“解释”，人们可以料到将有许多可能的解释。其中没有哪一个比另外一个更为正确或更为合理，但是有些却可能比另外一些更为重要。所以在给皮阿诺的五个算术公理找出一种解释时，那种以 O 为第一个数的解释就比那种以 3781 为第一个数的解释更为重要；它之所以更为重要，原因在于它能让我们把形式主义的概念的解释和在列举中所认识的概念等同起来。但是目前我们将不去管一切解释的问题，我们对概率只作纯粹形式的论述。

不同作者所提出的必要的公理或公设都大体相同。下面的说法采自 C. D. 布劳德教授①。这些公理是：

1. 已知 P 和 h，那么 p/h 只有一个值。所以我们能够谈到“p 在已知 h 的条件下的概率”。

1. p/h 的可能值是所有从 0 到 1 的实数，包括 0 与 1 在内。（照某些解释我们把可能值限于有理数；这是一个我将在以后讨论的问题。）

2. 如果 h 蕴涵 p,那么 p/h＝1。（我们用“1”表示必然性。） IV，如果 h

   蕴涵非 p,那么 p/h＝0。（我们用“0”表示不可能性。）

V.p 和q 在已知h 的条件下的概率等于 p 在己知h 的条件下的概率乘以q 在已知 h 的条件下的概率，也等于 q 在已知 h 的条件下的概率乘以 P 在已知q 和 h 的条件下的概率。

这叫作“合取”公理。

VI.p 和/或 q 在已知 h 的条件下的概率是 p 在已知 h 的条件下的概率加。q 在已知 h 的条件下的概率减去 p 和 q 在已知 h346 的条件下的概率。

这叫作“析取”公理。

就我们的目的来说，这些公理是否都是必要的并没有什么要紧；我们所关心的只是它们是充分的。

关于这些公理有几点需要注意。显然 II、III 和 IV 部分地体现了容易改变的惯例。如果采用了它们，而一个已知概率的约量是 X，那么我们就同样有理由采用任何随着 X 的增长而增长的数 f（x）作为约量：我们可以用 f（1）

① 关于“解释”，看第四部分第一章。

① 哲学杂志“精神”，新第 210 号，第 98 页。

和 f（O）替换 III 和 IV 中的 1 和 0。

按照上面的公理，一个与件为真则必真的命题，相对于与件来说，具有概率 1；一个与件为真则必伪的命题，相对于与件来说，具有概率 0。

重要的是看到我们的基本概念 p/h 是两个命题的一种关系（或者命题的合取），而不是一个单一命题的一种性质。这就把数学计算中的概率与作为实际生活指南的概然性区分开来，因为后者只能属于一个本身独立存在的命题，或者至少属于一个相对于不是任意选定，而是受我们知识的问题和性质决定的与件的命题。与此相反，在概率计算中，与件 h 的选定完全是任意的。

公理 V 是“合取”公理。它提供的机会是两个事件中每个都会发生。例如：如果我从一副纸牌中抽出两张牌来，它们都是红牌的机会是多少？这里“h”代表一副纸牌由 26 张红牌和 26 张黑牌组成这个与件；“p”代表“第一张牌是红牌”这句活，而 q 代表“第二张牌是黑牌”这句话。那么“（p 和 q）/h”就是两张牌都是红牌的机会，“p/h”是第一张牌是红牌的机会， “q/（p 和 h）”是在已知第一张牌是红牌的条件下，第二张牌是红牌的机会。显然“p/h＝1/2，q/（p 和 h）＝25/51。这样根据本公理，两张牌都是红牌的机会是 1/2×25/51。

公理 VI 是“析取”公理。就上面的实例来看，它提供的机会是这两张牌中至少有一张牌是红牌。它说至少有一张红牌的机会等于第一张牌是红牌的机会加上第二张牌是红牌的机会（在不知道 347 第一张牌是红牌还是不是红牌的情况下）减去两张牌都是红牌的机会。

这等于 12 十 13 — 12 × 2551，它采用了上面使用合取公理所取得的结

果。

可以明显看出，已知任何有限的事件集合的各自概率，通过公理 V 和公理 VI，我们能够计算出它们都出现，或者它们当中至少有一个出现的概率。

根据合取公理我们得出：

p / （q和h） = （p / h×（q（p和h））

q / h

这叫作“逆概率原理”。它的用处可以举例说明如下。设 p 为某种一般理论， q 为一个与 p 相关的实验与件。那么 p/h 就是在前所已知的与件下理论 p 的概率，q/h 就是在前所已知的与件下 q 的概率,q/（p 和 h）就是当 p 为真时 q 的概率。这样理论 P 在已经发现 q 以后的概率等于 p 先前的概率乘以 q 在已知 p 的条件下的概率，并除以 q 先前的概率。在最有用的情况下，理论 p 将是一个蕴涵 q 的理论，结果 q（p 和 h）=1。在这种情况下。

p / h

p / （q和h） = q / h 。

这就是说，新的与件 q 使 p 的概率按照与 q 的先在的不大可能性成比例的方式增加。换句话说，如果我们的理论蕴涵某种非常令人惊奇的事物，而这种令人惊奇的事物后来被人发现存在，这就大大增加了我们的理论的概率。

这个原则可以拿发现海王星作例来说明，把它当作万有引力定律的证实。这里 p=引力定律，h＝在发现海王星之前所有有关事实，q=在某一地点发现海王星这件事实。这样 q/h 就是一个至今尚未发现的行星将在某一小的天体领域内被发现的先在概率。让我们用 m/n 来表示它。那么在海王星被发现之后，引力定律的概率为以前的 n/m 倍那样大。

从判断新的证据对于一种科学理论的概率的关系上来说，这个原则显然是很重要的。可是我们将发现结果却有些令人失望，不能产生可以期待的好的结果。

有一个重要的命题，有时叫作贝那士定理，内容有如下述：设 P1，P2，⋯⋯ Pn 为 n 个互相排斥的可能，我们知道其中某一个为真；设 h 为一般与件，q 为某件有关的事实。我们想知道一种可能 p，在已知 q 的条件下的概率，如果我们知道对于每个 r 来说，每一 pr 在尚未知道 q 时的概率以及 q 在已知Pr 的条件下的概率。我们有

Pr / （q和h）＝（q / （pr和h）·pr / h） / ∑（q（pr，和h）·pr / h）

1

这个命题使我们能够，比方说，解决下面的问题：我们已知 n＋l 个口袋，其中第一个口袋装有 n 个黑球，没有白球，第二个口袋装有 n-个黑球和一个白球，第 r＋1 个口袋装有 n-r 个黑球和 r 个白球。选出一个口袋，但是我们并不知道是哪一个；从中取出 m 个球，发现都是白的；那么第 r 个口袋被选中的概率是多少？从历史上来看，这个问题的重要是因为它与拉普拉斯自称的归纳证明有关。

再看柏诺利的大数定律。这个定律说，如果在许多场合当中每一个场合发生某一个事件的机会是 p,那么，在已知不管多么小的任意两个数δ和ε的条件下，从某一定数目的场合往后，发生这个事件的场合的多少与 p 的差将永远大于ε的机会小于δ。

让我们拿抛掷钱币作例来说明。我们假定出正面和反面具有同样的概率。

1

我说在你已经掷过不少次之后，出正面的机会与 2 的差非常可能将不会超过

ε，不管ε可能多么小；我还说不管ε可能多么小，在第 n 次抛掷之后，无论在什么地方出现这样一个差别的机会小于δ，只要 n 足够大。

由于本命题在概率的应用上有着很大的重要性，比方说对于统计，所以让我们多费一点时间，就上面这个抛掷钱币的实例来说，弄清楚本命题所说的意思到底是什么。让我们说，我先断言从某点往后，钱币出正面的百分比将永远保持在 49 与 51 之间。你 349 不同意我的说法，于是我们决定在可能范围内用经验的方法就它进行试验。这个定理断言我们进行的时间越久，我们就越有可能发现我的说法有事实根据，并且随着抛掷次数的增加，这种可能就越来越接近必然性这个极限。我们将假定，实验让你相信从某点在后， 出正面的百分比永远保持在 49 与 51 之间，但是我现在说从某个更靠后的点

往后，它将永远保持在 49.9 与 50.1 之间。我们重做这种实验，过了一段时间之后你又一次被说服，虽然时间可能要比以前长一些。经过任何已知数目的抛掷之后，我的主张有着可能不被证实的机会，但是这种机会随着抛掷次数的增加而减少，并且可以通过相当持久继续这样做下去而变得小于任何指定的机会，不管它多么小。

上面的命题容易从那些公理演绎出来，但是当然不能用经验的方法充分得到试验，因为这涉及到无限级数。如果我们所能进行的试验看来已经证实了它，反对者永远可以说，如果我们接着进行下去，结果就可能不是这样； 如果我们所能进行的试验看来不能证实它，支持这个定理的人同样可以说，

我们继续做的试验还不够多。所以这个定理既不能被经验界的证据证实，也不能被它否证。

上面是对于我们的讨论有着重要关系的纯粹概率论中的一些主要命题。对于 n＋1 个口袋，每个口袋装有 n 个球，其中一些是白球，另外一些是黑球， 第 r＋l 个口袋装有 r 个白球和 n-r 个黑球这个题目我还想再说几句话。下面是与件：我知道这些口袋装有不同数目的白球和黑球，但从外面看却没有办法把它们区分开来。我随便挑选了一个口袋，并且一个一个地从中取出 m 个球，取出之后就不再放入。结果它们都是白球。鉴于这个事实，我想知道两件事：第一，我挑选只有白球的口袋的机会有多少，第二，我下一次拿出的球是白球的机会有多少？

我们照下面的方法来做。设 h 为按上面所说的情况安排好的口袋那件事实，q 为已经取出 m 个球那件事实；并设 Pr 为我们已经 350 挑中装有 r 个白球的口袋的假设。显然 r 必须至少和 m 一样大。

如果 r 小于 m，那么 pr/qh=0，并且 q/prh＝0。经过一些计算，得出的结果是我们已经挑中其中都是白球的口袋的机会等于

m + 1 ο

n + 1

我们现在想知道下一次拿出的球是白球的机会是多少。经过进一步的计

m + 1

算，结果这种机会等于 m + 2 。

注意这个结果是不以 n 为转移的，并且如果 m 大，它就非常接近 1。在上面的简略叙述中，我并没有把关于归纳问题的论证包括进去，我将

把那些论证推到后一个阶段去讨论。我将首先研究概率的某种解释的适当性，就这个问题可以与有关归纳的问题分开的限度内进行考察。