加在第 17—18 页上① ：

思维和存在的一致。——数学上的无限

我们的主观的思维和客观的世界遵循同一些规律，因而两者在其结果中最终不能互相矛盾，而必须彼此一致，这个事实绝对地支配着我们的整个理论思维。这个事实是我们的理论思维的本能的和无条件的前提。18 世纪的唯物主义，由于其本质上的形而上学的性质，只是从内容方面研究这个前提。它只限于证明一切思维和知识的内容都应当来源于感性的经验，并且重新提出下面这个命题：感觉中未曾有过的东西，理智中也不存在 275 。只有现代的唯心主义的，同时也是辩证的哲学，特别是黑格尔，才又从形式方面研究了这个前提。尽管我们在这里遇到无数的任意虚构和凭空臆造，尽管这种哲学的结果——思维和存在的统一——采取了唯心主义的头足倒置的形式，可是不容否认，这个哲学在许多场合下和在极不相同的领域中证明了思维过程同自然过程和历史过程的类似之处以及反过来的情形并且证明同一些规律对所有这些过程都是适用的。另一方面，现代自然科学已经把一切思维内容都来源于经验这一命题以某种方式加以扩展，以致把这个命题的旧的形而上学的界限和表述完全抛弃了。由于它承认了获得性状的遗传，便把经验的主体从个体扩大到类；每一个体都必须亲自去经验，这不再是必要的了，个体的个别经验在某种程度上可以由个体的一系列祖先的经验的结果来代替。例如，在我们中间，一些数学公理对每个八岁的儿童来说都好像是不言自明的，用不着从经验上来证明，这就完全是“累积的遗传”的结果。想用证明的方法向一个布须曼人或澳大利亚黑人传授这些公理，这可能是困难的。

在本书①中，辩证法被看作关于一切运动的各个最普遍的规律的科学。这就是说，辩证法的规律无论对自然界中和人类历史中的运动，或者对思维的运动，都必定是同样适用的。一个这样的规律可以在这三个领域中的两领域中，甚至在所有三个领域中被认识出来，只有形而上学的懒汉才不明白他所看到的是同一个规律。

让我们举一个例子。在一切理论进步中，同 17 世纪下半叶发明微积分比较起来，未必再有别的东西会被看作人类精神如此崇高的胜利。如果说在什么地方可以出现人类精神的纯粹的和唯一的业绩，那就正是在这里。至今仍笼罩着微积分中所运用的各种数量（各阶的微分和无限）的那种奥秘，是下述事实的最好的证据：人们总是以为，这里所研究的是人类精神的纯粹的“自由创造物和想象物”②，而客观世界提供不出任何相应的东西。然而实际情形恰恰相反。自然界对这一切想象的量都提供了样本。

我们的几何学是从空间关系出发，我们的算术和代数学是从这样的数量出发，这些数量适合于我们的地球上的关系，就是说适合于力学称之为质量的物体量，这是出现在地球上的并由人推动的质量。和这些质量比起来，地球的质量显得是无限大的，并且也被地球上的力学当作无限大来看待。地球

① 见本选集第 3 卷第 373—375 页。——编者注

① 见本选集第 3 卷第 484 页，本书指《反杜林论》。——编者注

② 见本选集第 3 卷第 376 页。——编者注

半径=∞，这是整个力学应用于落体定律时的原则。但是，当我们所考察的是那些用天文望远镜才能观察到的恒星系中的、必须以光年来估算的距离时，不只是地球，而且整个太阳系以及其中呈现出的各种距离，又都成为无限小了。这样，我们在这里不仅已经有了第一阶的无限，而且还有了第二阶的无限，我们的读者高兴的话，还可以凭自己的想象构造出无限空间里的其他的更高阶的无限。

但是，按照现在物理学和化学中流行的观点，力学所研究的地球上的质量，即物体，都是由分子构成的，而分子是最小的微粒，如果不破坏所研究的物体的物理的和化学的同一性，便不能再加以分割。根据威·汤姆生的计算，最小的分子的直径不能小于一毫米的 1/5000 万 276 。但是，即使我们假定最大的分子的直径甚至达到一毫米的 1/2500 万，然而同力学、物理学，甚至化学所研究的最小的质量比较起来，分子仍然是一个非常微小的量。尽管如此，分子还是具有所考察的质量的一切特性，可以在物理学上和化学上代表质量，而且在一切化学方程式中确实代表着质量。一句话，分子同相应的质量相比具有完全相同的特性，正如数学上的微分同其变数相比具有完全相同的特性一样。唯一的差别是：在微分中，在数学的抽象中，在我们看来似乎是神秘的和无法解释的东西，在这里却是不言自明的，并且可以说是一目了然的。

自然界使用这些微分即分子的方式和所遵循的规律，与数学使用数学中的抽象的微分的方式和规律是完全相同的。例如：χ3 的微分是 3x2dx，这里略去了 3xdx2 和 dx3。如果我们按几何学来设想，我们就可以得到一个边长为X 的立方体，其边长按无限小 dx 量增大。我们假定这一立方体是由一种可升华的元素构成的，比方说，是由硫磺构成的；再假定构成一个角的三面被遮盖起来，另三面是露着的。我们把这个硫磺立方体放在硫磺蒸气中，再把气体温度降低足够的度数，于是硫磺蒸气就凝结在这个立方体的露着的三面上。如果我们设想这是一个以纯粹的状态发生的过程，因而假定在这三面的每一面上最初凝结了一个分子厚的一层，那么我们就完全没有超出物理学和化学惯用的实验方法。立方体各边的长度 x 增大了一个分子直径的长度 dx。立方体的容积 x3 增加了 x3 和 x3＋3x2dx＋3xdx2 十 dx3 之差，按照数学中的同一理由，我们可以略去 dx3 和 3xdx2，即略去一个分子和联成直线的长度为 x

＋dx 的三排分子。结果是一样的：这个立方体的质量增加了 3x2dx。

严格说来，硫磺立方体上并不存在 dx3 和 3xdx2，因为在同一空间内不能有两个或三个分子存在，因而这个立方体的质量的增量恰好是 3x2dx＋3xdx

＋dx。这可以由下述事实来说明：在数学上 dx 是一个线量，而大家知道，这种没有厚和宽的线在自然界中并不能独立地存在，因此数学的抽象也只是在纯数学中才是无条件地有效的。既然这个 3xdx2＋dx3 也可以略去，所以也就没有什么差别了。

蒸气的情形也是一样，如果一杯水的最上面的一层分子蒸发了，那么水层的高度 x 就减少了 dx，这样一层分子又一层分子地蒸发下去，事实上就是一个连续的微分。如果热的水蒸气在一个容器中由于压力和冷却又凝结成水，而且分子一层又一层地累积起来（在这里，我们必须把那些使过程变得不纯粹的次要情况撇开不谈），直到容器满了为止，那么这里就不折不扣地发生了一种积分，这种积分和数学上的积分不同的地方只在于：一种是由人的头脑有意识地完成的，另一种是由自然界无意识地完成的。不过，和微积

分运算完全类似的过程，不仅仅发生在从液态到气态或从气态到液态的转变中。当物质运动由于碰撞而中止，并转化为热即分子运动的时候，那么这不是物质运动发生微分，又是什么呢？当水蒸气的分子运动在蒸汽机的汽缸中累积起来，把活塞冲高一定的距离并且自身转化为物质运动的时候，这种运动不是被积分了吗？化学把分子分解为原子，即具有更小的质量和体积的量，然而是同阶的量，所以二者相互间保持一定的、有限的关系。因此，表示物体的分子组合的一切化学方程式，就形式来说是微分方程式。但是这些方程式由于其中所表示的原子量实际上已经积分化了。化学所指靠的正是已知其量的相互关系的微分。

但是，原子决不能看作简单的东西或者甚而看作已知的最小的物质粒子。撇开越来越倾向于把原子看作复合的东西的化学本身不谈，大多数物理学家都断言：充当光辐射和热辐射的介质的宇宙以太，同样是由分立的粒子构成的，不过这些粒子极小，以致它们同化学的原子和物理的分子的关系就像后两者同力学的物体的关系一样，也就是像 d2x 同 dx 的关系一样。因此，这里我们在关于物质构造的现今流行的观念中，同样看到了二阶微分；没有任何根据令人相信，每个人只要高兴，为什么不会作这样的设想：自然界中一定还存在着和 d3x，d4x 等等相似的各种情况。

因此，不论人们对物质构造采取什么样的观点，下面这一点是十分肯定的，物质按质量的相对的大小分成一系列大的、界限分明的组，每一组的各个成员在质量上各有一定的、有限的比值，但同邻近的组的各个成员的关系上，则具有数学意义上的无限大或无限小的比值。目力所及的恒星系，太阳系，地球上的物体，分子和原子，最后是以太粒子，都各自形成这样的一组。在一些组之间我们发现有中间环节，不过这改变不了什么东西。例如，在太阳系的物体和地球上的物体之间有小行星，其中一些小行星的直径并不比幼系罗伊斯公国 277 的直径大些，此外还有流星等等。例如，在地球上的物体和分子之间有有机界中的细胞。这些中间环节只是证明：自然界中没有飞跃，这正是因为自然界本身是由真正的飞跃所组成。

数学计算的只要是现实的量，它就也要毫不犹豫地采用这个观点。对地球上的力学说来，地球的质量已经被看作无限大，而在天文学中，地球上的物体及与之相当的流星却被看作无限小，同样，对于天文学来说，只要它超出最邻近的恒星的范围来研究我们这一恒星系的构造，太阳系诸行星的距离和质量就会趋近于零。但是，数学家一旦退入他们的无法攻克的抽象堡垒，即所谓纯数学，这一切相似就都被忘却，无限就变成完全神秘的东西，而在分析中所运用的方式方法就显得完全不可理解的、同一切经验和一切理智相矛盾的东西了。数学家们的这种工作方法令人奇怪的是总是取得正确的结果，他们对这种方法与其说作说明不如说作辩解时所表现的愚蠢和荒唐，超过了例如黑格尔的自然哲学的各种最坏的虚虚实实的那些幻想，然而面对这些幻想，数学家们和自然研究家们却害怕得难以言状。他们谴责黑格尔把抽象推到了极端，可是自己正是这样做的，而且规模还大得多。他们忘记了：全部所谓纯数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象推到极端都变成荒谬或走向自己的反面。数学的无限是从现实中借用的，尽管是不自觉地借用的，所以它不能从它自身、从数学的抽象来说明，而只能从现实来说明。如果我们从这方面来研究现实，那么如我们看到的，我们就会发现作为数学的无限性关系的来源的现实关系，甚至会发现自然界

中使这种关系起作用的数学性的类似物。而这样一来，事情就说明了。（海克尔对思维和存在的同一性的糟糕的复述。但是还有连续的物质和分立的物质之间的矛盾；见黑格尔。）278