1. 当前数学能力研究中存在的问题

   1. 从研究结论上看

对什么是数学能力？数学能力的组成成分及其结构是什么？数学能力是怎样形成和发展的这些基本问题的研究，目前并未有一个明确答案．造成这种局面的原因主要有：

1. 心理学家主要对初等数学感兴趣，如：计算、数字、分数、比例、初等几何等．虽然也有心理学家使用现代数学中的一些术语，可是他们所谈的拓扑空间、射影空间、映射、变换群等术语的意义，常与数学上的本意相差很大．

许多人只研究了儿童早期的计算能力，初步的数概念和一些朴素的空间观念，就来建构儿童的数学认知结构，描述数学能力发展的一般规律，进一步地推断数学能力的实质．这种研究“实质上是在最低层次上”所展开的研究．例如第尼斯(Dienes)认为“6～12 岁的儿童可以掌握二次方程、有限群、同构，以及模等”概念，而这实质上不过是儿童的游戏．把这种“在最低层次上通过操作对概念进行运算”所得到的研究结论，推广到一般的数学能力研究问题上是缺乏说服力的．

事实上，大多数比较复杂的数学概念，并未从心理学角度加以充分的研究．例如：人类所形成的用字母表示数的概念，方程的概念等，表明了代数方法代替算术方法的思维改向；人类所形成的函数、微积分的概念，使得人类的思维找到了驾驭变量、无限的工具，数学也因此实现了由常量数学向变量数学发展时期的转变．象这些曾在数学发展过程中具有里程碑意义，使得人类思维发生重大转折的关键性概念，个体是怎样形成与发展的？个体获得了这些概念之后，是否导致其数学能力发展质的飞跃？等等，对这些问题我们还未给予全面深入的研究，因此目前“对数学领域中高级能力的发展的重要意义，至今还没有很明确的描述”[2]，是非常自然的．

1. 虽然我们都承认对数学能力的组成成分及其结构的分析，有助于探究数学能力的实质，但这种研究结论的众说纷纭，莫衷一是，难以达成共识的结果，应使我们反思这种“模式”研究的意义所在．因为这种研究要么是假设的结构，主观的推测；要么是通过因素分析得到的，而因素分析的实质在于从各种测验结果的相关中找出共同因素，它通过相关系数的计算，揭示了不能即刻明了的和以隐蔽形式存在的测验分数之间的相互依赖关系．但对于这些共同因素是如何产生的？单凭因素分析是不能解释的．

也就是说，对数学能力的组成成分及其结构的研究，不能说明不同的数学心理过程所导致相同结果的原因．特别是，为进行数量化的分析研究，人为地将数学活动这一有目的、有意义的整体结构，分解为许多孤立的元素的做法，应当引起我们对其研究结论有效性的思考，应用这些结论时应考虑到它的局限性．通过这种研究，我们究竟能否揭示出数学能力的本质？

1. 对数学能力的形成与发展的研究，主要是由心理学家来进行的．由于其目的是想揭示智力发展的机制，因此为了控制无关变量，研究者往往将研究对象局限于年幼儿童，特别重视对儿童数学能力发生过程的研究．

例如，皮亚杰等人主要针对 11～12 岁以前的儿童进行了大量研究，对11～12 岁以后的学生有代表性的研究则很少．林崇德等所进行的中小学生心

理能力发展与培养的研究，涉及到中小学生数学能力的发展问题，但对中学生数学能力发展的研究，还需要做大量精细的工作．