发挥一题多解对培养思维品质的作用苏志清(浙江省泰顺县第一中学 325500)

发展思维能力是数学教学的一项中心任务，也是素质教育的要求．思维品质的培养是发展学生思维能力的突破口．在教学中适时安排一题多解的教学，对培养学生的思维品质很有效果．现试举一例对此略作说明．

例已知(z - x) ² - 4(x - y)(y - z) = 0，求证x - y = y - z。

分析 1 利用差异分析法．首先将目标信息转化成 x+z-2y=0，易与已知信息比较．通过观察看到，它们所含字母 x、y、z 相同而次数不同．由此联想到通过降次达到目标，这样就确定了总体方向．于是，可集中精力思考采用何种办法达到目标．

思路 1 展开、合并、整理，得

0 = (z - x) ² - 4(x - y)(y - z)

= z² - 2zx + x ² + 4zx - 4xy - 4yz + 4y²

这时，因上面最后一个多项式各项次数相同，且多字母、多项数，如何才能抓住实质，排除干扰？采用主元观点，将展开式看成某字母的二次三项式，其余字母看成系数，就能排除干扰，走出困境，从而培养思维的深刻性和敏捷性．

若以 y 为主元，则

Z² - 2zx + x ² + 4zx - 4xy - 4yz + 4y² = (2y - z - x)² 。

得 2y-z-x=0，即 x-y=y-z．

思路 2 在方程观点之下，若以 x 为未知数，则原等式变为

x² - 2(2y - z)x + (2y - z)² = 0，可采用因式分解法，求根公式法和换元法来解之.如果把(2y - z)看成未知数，则可写成(2y - z) ² - 2x(2y - z) + x² = 0。现以换元法为例解之．

设 2y-z=t，则原方程变为

t ² - 2xt + x² = 0. (t - x) ² ＝0，

t = x，

即 2y-z=x，

∴ x-y=y-z．

通过以上解题体验和分析，扩大了思维空间，培养了学生的方程观点以及对一元二次方程的解法理解的深刻性，同时体现了思维的灵活性和敏捷性．

分析 2 以上求解过程中发现“先展开，后合并，再分解因式”遇到了“同次数、多项数、多字母”的干扰，那么能否避开干扰，直接分解因式呢？通过观察试验发现(x-y)+(y-z)=x-z，所以可采用能够化繁为简的换元法解之．

思路3 设x - y = t1 ，y - z = t 2 ，则t 1 + t 2 = x - z.

所以，原等式变为(t 1 - t 2 )² = 0.

∴t1 = t 2 ，

即 x-y=y-z．

这就揭示了本题已知与结论的本质联系，训练了思维的灵活性．

思路 4 受思路 3 的启发，应用“如果一元二次方程的判别式为 0，则两根相等”，就可以得出此题最本质的解法．

以 x-y，y-z 为根的一元二次方程为

t 2 + (z - x)t + (x - y)(y - z) = 0，(t为未知数).

由 △ = (z - x)² - 4(x - y)(y - z) = 0，所以，方程有两个相等的实数根，即x-y=y-z．

此解法训练了思维的独创性．

思路 5 由已知信息与目标信息比较，我们又可以联想到利用比例性质来解之．

由(z - x) ² - 4(x - y)(y - z) = 0，得

z − x = 2(y − x) . ①

2(x − y) z − x

由等比性质得

z − x = 2(y − x) = − x − z + 2y = −1

2(x − y) z − x x + z − 2y

化简得 z-x=-2(x-y)，

∴x-y=y-z．

表面上看，这种解法显得简洁，但它忽视两个重要条件：比例后项不能为 0，等比性质中要求比例后项之和不为 0．所以该解法是错误的．

式①中，若 x-y=0，或 z-x=0，则比例式无意义．但分别讨论可知此时命题成立．

若 x-y≠0 且 z-x≠0 时，则原等式可变为

z − x = 2(y − x) .

2(x − y) z − x

由合比性质，得

z − x − 2( x − y) = 2(y − x) − (z − x)

2(x − y)

化简、整理得

∴x-2y+z=0．

∵x-y=y-z．

z − x

(x - 2y + z)² = 0，

用等比性质要求 x-2y+z≠0，但结论正是 x-2y+z=0，因此，本题不能使用等比性质来解．

用这种解法，学生容易误入“陷阱”，若能洞察这些“陷阱”，就能训练思维的批判性．

在解题教学中，只要我们综观全局，引导学生采用多种分析、多种思路、多种方法来分析问题、解决问题，有针对性地对学生进行思维品质的训练，充分挖掘题目中蕴含的数学思想和方法，长期坚持下去，就能达到提高学生数学素质的目的．