一类含三角函数的初等函数取值范围问题的图象解法 陈军 (江苏省如皋市白蒲中学 226511)

一类求在给定条件下三角函数式的取值范围问题，已有多篇文章论及(参见文[1][2][3])，但美中不足的是文中未给出如何揭示隐含条件以避免误解．笔者发现这类问题通过构造合适的直线或圆锥曲线能充分揭示隐含条件，正确求解．

例 1 已知 sinα+2cosβ=2，求 2sinα+cosβ的取值范围．

解设 x=sinα，y=cosβ，t=2sinα+cosβ则有 x+2y=2，2x+y=t(│x│

≤1，│y│≤1)．t 的取值范围即线段 x+2y=2 与平行线段 2x+y=t(0≤x≤1， ≤y≤1)相交时，2x+y=t 在 y 轴上截距的取值范围。由图(1)易得

当2x + y = t通过点B (1， 1)时，tmax = 5 。

2 2

当 2x+y=t 通过点 A(0，1)时，tmin=1．

所以2sinα + cosβ的取值范围是[1， 5]。

2

例2 已知sinα·cosβ = 1 ，求cosα·sinβ的取值范围。

2

解设 t=cosα·sinβ

1

∴sinα·cosβ = 2 ，cosα·sinβ = t，

1 1

∵ 2 〔sin(α + β) + sin(α - β)〕= 2 ，

1 〔sin(α + β) - sin(α - β)〕 = t. 2

即 sin(α+β)+sin(α-β)＝1， sin(α+β)-sin(α-β)=2t．

令 x=sin(α+β)，y=sin(α-β)，则有 x+y=1，x-y=2t(│x│≤1，│y

│≤1)．t 的取值范围即线段 x+y=1，x-y=2t(│x│≤1，│y│≤1)相交时， x-y=2t 在 y 轴上截距的相反数一半的取值范围．

如图(2)

1

当x - y = 2t通过点A(0，1)时，t min = - 2 。

当x - y = 2t通过点B(1，0)， t = 1 。

max 2

所以cosα·sinβ的取值范围是〔 - 1 1 ο

2 2

例 3 已知 sinα+sinβ=a(-2＜a＜2)，求 cosα＋cosβ的取值范围．

解 如图(3)，设角α、β的终边与单位圆分别交于 A、B 两点，那么 A、B 两 点 的 坐 标 分 别 为 A(cos α ， sin α ) ， B(cosβ，sinβ) ，设弦AB的中点为P(x0 ，y0 )，则

cosα + cosβ

x0 = 2 ,

y = sin α + sinβ = a ,

⁰ 2 2

显然，当α、β变化时，弦 AB 的中点轨迹为弦 CD：

a

y = 2 (-

4 - a ²

2

≤x≤

4 − a ²

2 )

即x0 ∈[-

4 - a ²

2 ，

4 - a ²

2 ] ο

∴cosα + cosβ∈[- 4 - a ² ， 4 - a ² ] ο

例 4 已知 sinα+sinβ=a(-2＜a＜2)，求 sin(α+β)的取值范围．

解 如图(4)设角α、β的终边与单位圆分别交于 A、B 两点，那么 A、B 两点的坐标分别为 A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，设弦 AB 的中点

为P(x0 ，y0 )，由例3知x 0 ∈〔 −

4 − a ²

2 ,

4 − a²

2 〕。

∵tg α + β = tg∠COP = y0 ，

x2

2tg + α + β

∵sin(α + β) = 2 =

α + β

2x0 y 0 =

x ² + y²

x0 a

a 2

令f(x) =

xa x² + a

4

1 + tg²

2

0 0 x2 +

4

1. 当 a＞0 时，f(x)的示意图如图(5)．

(Ⅰ)若

2＜a＜2，则

4 − a²

2

〈a ，在[−

2

a

4 − a ²

2 ,

4 − a²

2

]上f(x) 是增函数，

x = -

2 时，f(x) 取最大值，最大值为 2

4 − a ² ；x = - 时，

2

a f(x) 取最小值，最小值为- 2

4 − a ² 。所以 sin(α + β)的范围为

[− a

2

4 − a² , a

2

4 − a ² ] ο

(Ⅱ)若0＜a≤

a

2，则 2 ≤

4 − a ²

2

，在[-

4 − a²

2 ,

4 − a ²

2 ]

上，x = a 时，f(x)取最大值，最大值为1；x = - a 时，

2 2

f(x)取最小值，最小值为-1．所以 sin(α+β)的范围是[-1，1]． (2)当 a=0，f(x)=0．

(3)当 a＜0，仿(1)讨论得：

(Ⅰ)若- 2＜a＜ - 2，sin( α + β)的范围是[ a

2

4 - a ² ,− a

2

4 - a ² 。

(Ⅱ)若- 2≤a＜0，sin(α + β)的范围是[-1，1]。

综上所述，当- 2≤a≤ 2时，sin(α + β) 的取值范围是[-1，1]；

当- 2＜a＜ - 2或 2＜a＜2时，sin(α + β) 的取值范围是

4a ² − a ⁴

[- 2 ,

4a ² − a ⁴

2 ]。

例5 已知3sin²α + 2sin² β = 2sinα，求sin²α + sin²β的取值范围。

解设x = sinα，y = sinβ则有3x² + 2y² = 2x(│x│≤1，│y│≤1)， sin² α + sin²β = x ² + y²。sin² α + sin ²β的取值范围即为椭圆

3x² + 2y² = 2x上的任意一点P到原点距离平方的取值范围。

如图(6)：当点 P 运动到点 A、O 时 P 到原点的距离最大和最小，其最大

2 2 2 4

值、最小值分别为 3 、0，所以sin α + sin β的范围为〔0， 9 〕。

由此可见，构造图形能揭示变量间的相互制约关系，达到充分挖掘隐含条件的目的，这种解法具有统一、直观、化难为易的特点，是求解这类问题的有效途径．