对称性的发现与证明

问题：你能发现这个椭圆有什么美妙的性质吗？

一般学生都能发现椭圆的轴对称性，稍作提示容易发现其中心对称性(若有其它发现也要给予肯定)，焦点 F1、F2 所在直线及线段 F1F2 的垂直平分线都是椭圆的对称轴，线段 F1F2 的中点 O 是椭圆的对称中心．

1. 提醒学生：凭观察作出的判断准确吗？怎样证明你的判断？

师生讨论后，确定用椭圆标准方程证明它的对称性，然后投影显示(与图1 复合)：

x2 y2

建立如图的坐标系，则椭圆标准方程是 a 2 + b2

= 1，怎样用这个方程证明

它的曲线(椭圆)的轴对称性和中心对称性呢？

为了证明椭圆的对称性，先作如下两条铺垫(由学生回顾讨论后投影显示)：

①曲线C的方程是f(x,y) = 0，则点在曲线上 ⇔ 点的坐标满足曲线的方程。

②曲线 C 关于直线 l 呈轴对称是指：C 上任一点 M 关于直线 l 的对称点 M仍在曲线 C 上；曲线 C 关于点 O 呈中心对称是指：C 上任一点 M 关于点 O 的对称点 M″仍在曲线 C 上．

然后指导学生亲自动手作出证明．证明略．

教师指出：我们通过建立坐标系，以方程为工具，研究曲线的几何性质， 这就是重要的解析几何的思想，今后要不断地使用．

1. 投影显示图 2 及问题：

问题：图 2 中的椭圆有没有对称轴和对称中心？

指导学生思考讨论后获取共识：坐标系是用来研究曲线的重要工具，而椭圆的对称性是椭圆自身固有的性质，不因坐标系的变化而变化．〔注：这样做可进一步明确解析几何的思想，又为后面研究坐标平移埋下伏笔〕．