库仑的扭转理论

库仑在他一篇论磁罗盘的论文中首次概述他的扭转理论,并描述了丝绸和发丝的扭转实验,该文发表于 1777 年的《外国学者报告集》(Mémoires Par Divers Savants Etrangers)。他对金属抗扭转力的研究的描述见于他在 1784年递交科学院的一篇论文,该文发表于当年那卷《备忘录》。在那篇论文中, 他考察了一根金属线所承受的扭转的角度和其长度、直径与弹性性质之间的关系;描绘了扭秤和扭秤对测量微小力的应用;并就弹性和内聚性分别在金属因受应力而发生的塑性屈服中所起作用提出了一个格外新颖的理论。1884 年法国物理学会编印出版的《论文集》(Collection de mémo-ires)的

第一卷转载了这两篇论文。

图 33──库仑

库仑所采用的实验方法是竖直地悬吊一根金属丝,其下端同轴地系一个重的金属筒。筒带有一根在一个水平环形标度上移动的指针,记录金属丝下端相对于固定的上端扭转了多少角度。重物被旋转某一加以量度的角度,以使金属丝扭转,然后放松。金属丝的弹性提供了推动力,使这系统回复到其正常位置。但是,由于筒的惯性,指针通过了零位,金属丝被沿相反方向扭转,这样便建立起可精确加以计时的振荡运动。

库仑提出了“扭力”与扭转角成正比的假说。如果事情果真这样,则由金属丝悬吊的圆筒的行为便处于一种简谐运动。设θ=偏

图 34──库仑的扭转装置

离中性位置的角度,α=圆筒的角加速度。设圆柱体质量为 M,半径为 a,

Ma 2

那么,圆筒的极转动惯量就是 。按照库仑的假说,转矩或扭矩可以表

2

达为 n·θ,其中 n 是常数,取决于被扭转金属丝的材料的某种物理性质、它的长度 L 和直径 D,由实验按某种方式确定。于是,我们就可以写下转矩

 Ma2  2nθ

n·θ = 

2  ,它给出a = Ma 2 。

在任何简谐运动中,周期时间都等于位移除以加速度所得的一个量的平

方根的2π倍. 因此, 振荡完全一周的周期时间可由方程式T = 2π·

给出。库仑没有用过“简谐运动”和“极转动惯量”这样的术语;但是,他以最基本的原理来处理问题,却得到了同样的结果,只是他给出的是朝一个方向摆动一次的时间,而不是往复摆动完整一周的时间。

他对阻尼效应的研究导致一个没有实用价值的复杂公式。因此,我们避开这种研究,进而讨论他用以计算 n 的值的实验。

应当注意,T 与摆动角无关。库仑发现,当角度很小时,情形的确如此, 这样便证明,他关于抗扭力与扭转角成正比的假说是合理的。他做实验时所应用的是翼琴铁丝和黄铜丝。他用重量和半径各异的若干圆筒证实了 T2 与Ma2 的比例性。这样,在用同一圆筒进行的任何实验系列中,他都能把 T 和 n 看作是仅有的变量。利用材料和直径相同但长度不等的金属丝进行实验后, 他发现,T 与长度 L 的平方根成正比。因此,

n∞ 1 T2

∞ 1 。当使用材料和长度相同但直径不等的金属丝时,他发现,

L

周期时间与所用的金属丝的重量成反比,误差不超过百分之 3 到 4。一根给

定长度的金属丝的重量与直径的平方成正比,但要加以精确测量则容易得多。

因此,对于一根重量为 W 而长度恒定的金属丝,这实验系列给出

T∞ 1 ∞ 1 。所以,n∞ 1 ∞D 4

W D2 T

如果我们用μ标示仅由金属的自然刚性所决定的一个系数,则该金属丝被扭转θ角后所产生的转矩可以表示为

μ·D 4·θ

转矩=

L

铁丝和黄铜丝的μ值之比求得为 10∶3,而米欣布罗克测定的这两种材料的抗张强度之比为 5∶3。我们不知道为什么库仑期望这两个比相同;但显然他抱有这种期望,因为他提出,这种差异可能是由于材料经受的冷加工和退火处理的程度不同而造成的。一根丝线的扭转刚度仅是一根铁丝的二十分之一,而它在同样大张力载荷作用下却断裂了。

对经受大角度扭转的金属丝进行的实验,使库仑注意到,当载荷移去以后,弹性仍有所恢复,甚至在金属丝受到相当程度永久变定之后也是如此。铁和黄铜这类金属可以认为是完全弹性的,因此,压缩或展延它们的构分所必需的力与它们所受到的压缩或展延成正比。令人感兴趣的是,库仑在持有这种观点的同时,却还无保留地认为胡克阐明的定律是真实的。胡克定律受到雅各布·伯努利的诘难,而且实际上受到胡克工作和库仑工作相隔的那一个世纪里的每个著作家的轻视。然而,一个应变的物体的各个部分是靠与弹性完全不同的内聚性连接起来的。在扭转的最初阶段,构分发生变形,伸长和缩短,但不改变构分藉之粘附的点,因为产生最初扭转程度所必需的力小于内聚力。但是,当扭转角大到用以压缩或展延各构分的力等于使各构分连在一起的内聚力的时候,构分就会屈服,分离或者相互滑移。在一切延性物体中,都会发生这种各部分滑移的现象。但是,如果在这个过程中物体受到压缩,那么接触就会增加,而弹性的范围也会增大。不过,由于各构分都有固定的形状,所以这个过程就存在一个界限,超出这个界限,物体就不可能产生应变而又不破裂。材料的内聚性可以藉退火程度不同而故意改变,同时不改变其弹性。这一事实进一步说明了弹性和内聚性存在根本区别。当用铜丝进行试验时,库仑发现,甚至当抗扭强度降低一半时,弹性系数仍维持不变。同样,钢棒在不同程度回火条件下经受弯曲试验时,极限强度呈现宽广范围,而它们的弹性却实际上没有发生什么变化。把断裂主要归因于滑移的认识为库仑的后继者所忽视,直到二十世纪才又复活。

(参见 E.Mach,The Science of Mechanics,T.J.McCormack 英译, 5thedn.,1942;S.B.Hamilton,“Coulomb”,载 Trans.NewcomenSoc.,Vol.XV Ⅱ,1936—7。)