五、弹性梁的理论

十八世纪初以前，只发表过三种关于梁的理论的重要著作。(1)伽利略在其《两种新科学》（Two New Sciences）（1638 年）中勾勒出了一种数学理论，它认为，一根肱梁上的载荷和在其“断裂底”上引起的抗力是作用于一根转向杆的两个力，以使它们各自关于一根轴的矩相平衡，这根轴就是拱腹平面与断裂底平面的交线。伽利略没有考虑弹性形变，而且认为抗力在断裂底上是均匀分布的。(2)埃德梅·马里奥特在其《论水的运动》 （Traité du Mouvementdes eaux）（1686 年）中论证说，情况不可能如此，因为构成梁的物质的纤维的伸长是不等的。他仍然采用伽利略的轴，计算出他的材料的“绝对抗力”即直接抗张强度的矩为伽利略的估值的三分之二。当他注意到在一个简单对称截面上，一半纤维伸长，一半被压缩的情况后，便提出了一个更为精确的理论（这个理论使他的矩只有伽利略的三分之一）。但是， 这理论更不令人满意，而他做了一些粗糙的实验后，却墨守着这个理论。

图 27──载荷──伸长曲线

由于得到了莱布尼兹的支持，这个理论在十八世纪里始终是一个同伽利略理论相抗衡的理论。(3)罗伯特·胡克在他的卡特勒讲义《势的恢复》（De potentia restitu-tiva）（1678 年）中表明，施加的载荷与因而产生的畸变是成简单比例关系的。他由此为用伽利略所忽视的弹性形变来研究这个问题奠定了基础。马特里奥也没有认识到这种形变的重要意义。在解决这个问题的进程中，胡克定律即 Ut tensio sic vis （应变与应力成正比）是最重要的一步。但是，它曾被忽视了一个多世纪。

十八世纪发表的对于弹性理论的贡献中，最重要的是雅各布·伯努利、欧勒和库仑三人的贡献。

伯努利对问题的实质进行了实验研究。但是，实质恰恰表现反常。因此， 这导致伯努利误以为应变的增大率比产生它们的应力的增大率要小。如图 27 所示。图中，e1 与 e 的比小于 t1 与 t 的比。

图 28──伯努力的弹性曲线

由于忽视了物理的比例极限的存在，伯努利想象一个张力足可使一件材料的长度增长一倍，而压缩力无论多大也不能使其长度减小到零。伯努利进而又错误地漠视了梁的中性层（即无应力层），在那里压缩终止而伸长开始。于是，他又回到了马里奥特那不能令人满意的假说上去了。

图 29──伯努利理论应用于梁

然而，伯努利对挠曲理论作出了一项极其重要的贡献，这就是他表明，一个挠曲构件的曲率与其纤维的应变成正比（见图 28 和 29）。作为一种能作数学处理的情形，他假设，这些应变与纤维中所受的力成正比——这也就是胡克定律。于是，他得到了一个连结一个挠曲板条的曲率与挠曲力的矩的方程。这是一种理论上的确实进步。后来经欧勒简化了的伯努利理论，以一根弹性梁为例就是说（见图 29）：如果 R 为中性轴在点 S 处的曲率半径，S 是取决于材料弹性性质和过 AB 的截面的大小的一个常数，

那么，曲率 = 1

R

截面的倔强矩。

= W·x 。W·x是图示例子中截面AB的挠矩。S可以称为

S

欧勒不仅把伯努利理论应用于梁，而且还应用于支柱，并由此作出了一项具有根本意义的发现，其后一切关于支柱性能的理论皆由之引出。在他于1757 年递交柏林学院（Mém.，XIII， pp.252—82）的题为《论支柱的力》

（Surla forcedesColonnes）的论文中，他分析了一根由各向同性的匀质材料构成的细长弹性直支柱在负有完全集中的载荷时开始发生挠曲

图 30──欧勒的支柱理论

的条件。他发现，如果不考虑支柱长度与连结其两端的弦的差异，则有(1)在达到某临界载荷之前，不会发生任何挠曲；

  1. 处于临界载荷时，支柱的轴呈正弦曲线的形状；

  2. 在支柱开始挠曲后，不管程度多么轻微，作用于杆臂的载荷都造成挠曲 y（图

    30），从而使支柱因弯折而完全断裂。

如果 P 为临界载荷，L 为支柱从加载点到支承点的长度，那么，致断载

π 2·S

荷便由方程P =

L2

给出。倔强矩S可以分为两个部分，即一个力和长度

平方，从而使之类似于转动惯量。一根梁或支柱的截面的转动惯量这一术语现在仍在使用，用来冠称梁或支柱的横截面关于一根中央轴的第二矩。这与欧勒所引入的术语意义不太一样，也没有那么恰当。

支柱性能表现出来的不连续性使欧勒颇感困惑，特别是与图 31 所示的那样一根梁的性能相比较的时候。他表明，在图 31 中，由力 Q 在 A 点产生

Q·13

的挠曲可以表示为δ

3·S

。Q值的任何增加，不管多么小，都会引起δ值

相应增加，而未出现临界值。

库仑在其论文《建筑静力学问题》 （Statical Problems appliedto Architecture）（Mém. par divers，savants étrangers， 1773）中率先对作用于一根肱梁的一个典型横截面的力（参见图 32）作了合理的全面讨论。AD 是典型截面，距载荷 W 的作用线的距离为 x。

图 31──肱梁的挠曲

图 32──库仑的梁理论

作用于这个截面的全部内力联合抵抗 W 要在截面处将梁折断的倾向。截面上部的材料将提供抗张力，例如 QP，而截面下部的材料将提供抗压力，例如 Q

′P′。把作用于梁的 ADKJ 部分的力沿水平和垂直两个方向分解，我们便知道，为了达致平衡，

  1. 张力的和 MP 必须与压力的和 M′P′平衡，即面积 ABMC 必须等于面积 DEM′C；

  2. 诸如 QM、Q′M′等等垂直分量之和必须等于 W；

  3. 力MP、M' P' 关于C的矩之和必须等于矩W·x, 即∫ t·ydy = W·x

不论各构元的畸变和其内聚性的关系怎样，上述三个条件都必须得到满足。过去从未有人对这个问题作出过如此明了的概述。

如果这根梁是由完全弹性的木材制成的，就是说，材料的伸长和压缩与造成它们的力成正比，那么，材料在肱梁固定端的那个构元 jfhk 将呈楔形jgmk，三角形 ofg 将与三角形 ohm 相等；这样（由于库仑考虑的是长方形截面）， of 必定等于 oh。

 1   2

 e ·d 2

三角形ofg（代表张力）关于o的矩为 e1 ·n × 

  • n = 1 ；

2   3  3

e ·d 2

既然n = 1 d，所以该截面上的所有张力和压力的矩的总和 1

6

= W·L。

内力的垂直方向分量如 QM 被忽略不计，因为在库仑看来，如果 L 与 d 的比很大，则这些分量的效应很小。认识到切力对一根中空长梁的挠曲没有显著作用，这是一个重要而又新颖的见解。

然而，库仑也犯了一个当时常见的错误：他认为，有些物质例如石头是不可伸长的，因而伽利略理论适用于这些物质。