拍和音调

十八世纪初人们就知道，当把两个频率稍有差别的深沉的管风琴音一起发出时，可以听到合成乐音在强度上有周期性的变化，此即现在所谓的“拍”。约瑟夫·索维尔（1653—1716）认识到，这种效应是由于产生两个律音的振动周期性地符合，即我们现在所说的相位一致所造成的。这种拍的频率等于两个构分律音的频率之差。索维尔就是根据这一原理提出他的测定任意给定律音的频率的方法的。他的方法是让这律音与一个邻近律音产生拍，然后计算每秒钟拍的次数，而这邻近律音的频率同给定律音的频率成一已知比。例如，他让两个相差半音的管风琴音一起发出，两者的频率之比为15∶16，他算得每秒钟有 6 次拍。既然知道了两个频率的比和差，他就能推

算出两者的值为每秒振动 90 次和 96 次。索维尔得出了一个标准律音的频率

后，就可算出音阶中其余律音的频率。他求得，一个长约 5 英尺的开键管风

琴管可发出频率为 100 的律音。他提议把这个律音作为标准音调。他得到这个结果的方法是，对于一根风琴管再取另一根风琴管，后者长度被调节到与第一根风琴管的长度之比为 99∶100，当两根管同时发音时，每秒钟产生一次拍，求得这时第一根管发的律音。1739 年，欧勒根据布鲁克·泰勒公式

（Phil.Trans.，1713）提出了一种更为精确的绝对确定音调的方法。现代形式的泰勒公式表明了一根弦的振动频率（n）与其长度（l）、张力（T）和单位长度质量（m）之间的关系：

n =

（Tentamen novae theoriae musicae，1739）。

十八世纪里，人们提出了各种见解，试图解释振动物体如何产生出它们的特征律音和泛音。例如，有些物理学家推测，声音来源于发声物体的基本粒子的振动。为了支持这一观点，德拉伊尔于 1716 年指出，一把夹钳被轻敲时产生一个律音，而当其两臂能作为一个整体振动时则不产生这律音（Mém. del’Acad.Paris，1716）。C.B.芬克在 1779 年（Dissertatio de sono et tono，1779）也维护这种观点。十八世纪末，托马斯·杨提出，一根振动弦的各部分之间的相互作用是产生律音和泛音的原因（Phil.Trans.，1800）。

及至十八世纪中叶，现在所谓的“结合音”已被部分地发现。索维尔研究的周期性拍只有在频率几乎相同的两个律音同时发出时才能听到。但是，若把两个律音间的音程逐渐加大，则拍频（即两个律音的频率之差）就会变得太高，以致无法分辨各别的拍。不过，这时乐音却可以听闻到了，它象拍一样，也以原始律音的频率之差作为它的频率。G.A.佐尔格于 1740 年

（Vorgemach der musika- lischen Kompositon）以及 F.罗米厄于 1753 年Mém. de la SociétéRoyale des Sciences，Montpellier）都描述过这种后来称为钝谐音的乐音。但是，它们常常同意大利音乐家 G.塔提尼的名字联系在一起（它们因之被称为 sons tartiniques［塔提尼音］）。塔提衬嶂钡*1754 年（Trattato di musica⋯⋯）才描述了这种他所谓的 terzo suono［第三音］，但他声称他早在 1714 年就已注意到了这的种音。他当时未能解释这种音的存在，而且他所给出的音要比这种音的实际音调高八度。1759 年，拉格朗日在一篇论文中指出，塔提尼的钝谐音是由于两个律音的拍的频率很高，足足相当于一个可闻音调的律音而产生的。于是，（构成拍的）两个律音的共同强度的周期性变化本身就被认为等于一个具有这振动周期的律音。关于这个问题的这种观点现在也还没有得到公认。它已为赫尔姆霍茨的结合音理论所取代。赫尔姆霍茨的理论解释了由两个基本音产生的其他附加乐音的存在，尽管在进行这种解释时还不无困难。这些结合音调的频率是两个基本律音的频率的倍数之和与差。有时它们是由发音的条件产生的，有时则是由耳朵接受声音的条件产生的。

关于一根横振动的弦的形状和运动问题的研究，主要有布鲁克·泰勒、达朗贝、丹尼尔·伯努利和欧勒等人运用了微积分方法。拉格朗日的早期工作又使他们的研究臻于完善。欧勒还考察了由几个独立线性振动合成而得到的比较复杂的振动。里卡提研究了膜的振动，并于 1786 年发表了研究结果。所述及的都是固体因其自身弹力而发生振动所提出的问题。丹尼尔·伯努利、里卡提和欧勒对杆的横振动进行了研究。音叉和其它一些乐器，例如手风琴和八音匣，就是以这种振动为基础的。他们考察了因杆的一端或两端处于自由或固定状态而发生的各种情况。恩斯特·洛伦兹·弗里德里希·克拉

尼（1756—1827）是杆的纵振动和扭转振动的发现者，并对它们进行了专门研究。他在《论弦和杆的纵振动》（Über die Longitudinalschwingun- gen der Saiten und Stäbe）（埃尔富特 1796 年）这本书中阐述了他的研究结果。

图 86──克拉尼

克拉尼关于板的振动的研究具有特别重要的意义。

图 87──克拉尼的声图

他在《声学理论的新发现》（Neue Entde-ckungen über die Theorie des klanges）（莱比锡，1787 年）和《声学》（Akustik）（1802 年）中阐述了他的研究。约在 1785 年，他进而研究玻璃或金属的圆盘、方形板等等的振动。这些东西通常在中心被夹持，用一把提琴弓从边缘激发振动。他注意一块板在这些条件下所发出的各种律音的频率之间的关系。后来他想到把砂撒在水平地夹持的板上。在用弓垂直拉奏板的边缘时，砂从板的振动部分移动到了不振动的部分，从而形成图形，即现在仍然以他命名的声图。砂的位置表明了节线，从而揭示了板振动的模式。拿破仑看了这些实验后说：“克拉尼使声音变得可以看见了。”产生了种类极其多样的这种图形，克拉尼在他的著作中试图描绘它们并加以分类。这里（图 87）示出了一些克拉尼声图。第一幅图示出方形板在中心被水平地夹持，在其一角垂直地拉弓时，砂的图形；第二幅图中，琴弓在一边的中央拉奏。第三幅图示出板在 n 或 g 处被夹持，琴弓作用于 a 处时，砂的图形。第四幅图示出的图形很容易由第三图变化而来。