进位制学习与《九章算术》

在我国古代，进位制的问题是跟古代数艺学习密切相关的。进位制学习也是古代数艺的重要科目。

在秦始皇统一度量衡之前，各个诸侯国之间并不统一。当时数艺科目中的进位制是相当复杂的，这也就是为什么在先秦的典籍中有那么多“单位”的原因。

秦统一了度量衡后，度是寸、尺、丈，即10寸1尺，10尺1丈；量是升、斗、石，即10升1斗，10斗1石；衡是钱、两、斤，即10钱1两，但过去16两是1斤。这是一个奇怪的例外。后来有了钱币，自然也是十进位，即10分1角，10角1元。

十进位的意义主要还不表现在这里，而是表现在计数上。凡计数到10，便进一位。然后再到10时又进一位到100。100到10，进一位到1000。1000到10，进一位到1万。然后10万、100万、1000万，始终都是十进位。

其实，我国古代已经运用了十进位，但这个十进位与后来的十进位似乎有点区别。首先在数字的排列上，我国古代数艺中是没有“0”这个数，古代进位是从1至10的。但是在古代数艺系统中却有“零”这个字，只是这个零字并不意味着没有，相反它正是表示还有一点。

《九章算术》是我国流传至今最古老的数学经典著作之一，也是古代数艺的标准教材。古籍《周礼·保氏》中就说周代的王子们必须要学习“九数”了。

后来东汉末年的经学家郑玄为《九章算术》作注，其内容与《九章算术》的篇名几乎完全相同。郑玄虽然是一个经学家，但他的算学水平绝对是一流的，当时就是因为他曾经帮助他的老师马融解决了一道数学难题，马融才将所有的学问传给了他。

《九章算术》是古代君子的必学之书，它是研究九个数学问题的习题集。每道题有问有答有解决方法，全书共九章，涉及的都是现实生活中的实际应用问题。

第一章讲的是“方田”，关于方田共有38个问题和21种解决方法，主要论述了各种平面图形的地亩面积计算法及分数的运算法则。

其中平面图形有方田、圭田、邪田、箕田、圆田、宛田、弧田、环田的面积算法。除了宛田、弧田采用近似计算法外，其他各种图形的面积算法都是正确无误的。其中的分数运算法则包括约分术、合分术、减分术、课分术、平分术、经分术、乘分术及大广田术等。

第二章讲的是“粟米”，总共46个问题和33个解决方法，主要论述了古代20种谷物、米或饭的兑换比率及四项比例算法。

四项比例算法当时被称为“今有术”，前面31个问题都是用四项比例算法计算的谷物兑换问题，后面15个问题则是以钱买物的问题，再后面15个问题中共列了四个解决方法，也就是经率术、经术术、其率术和反其率术，这四术都是四项比例算法的特殊情况。

第三章说的是“衰分”，总共20个问题和22个解决方法，主要论述的是比例分配，包括质量不一的货物赋税问题，还有算术级数和几何级数方面的其他问题。所有这些问题，都是要用比例法来解决的。

第四章说的是“少广”，总共24个问题和16个解决方法，主要论述的是开平方、开立方的问题。

第五章说的是“商功”，总共28个问题和24个解决方法，主要讨论的是立体图形。比如棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、圆台、四面体、楔形的体积测量和计算，所考虑的有墙、城墙、堤防、水道和河流等。

第六章说的是“均输”，总共28个问题和28个解决方法，主要讨论的是如何按照人口多少、路途远近、谷物贵贱平均缴纳、运输赋税或摊派徭役的问题。

第七章说的是“盈不足”，总共20个问题和17个解决方法，主要论述的是盈亏问题的解法。

第八章是方程，总共18个问题和19个解决方法，主要是研究联立线性方程，还用到正数和负数。

第九章是勾股，总共24个问题和22个解决方法，这部分内容，用代数方法深入细致地论述了《周髀算经》中已经提到过的直角三角形的性质。

九章合计246个问题和202个解决方法，它涉及社会生产生活的方方面面，而且在解决具体问题的过程中达到非常精微的地步。只是没有一套知识系列，将数学的各种知识系统化。这也是我国古代数艺学习的一大特征。

我国数艺学习还有一个特征，就是比较擅长运用代数来解决问题，即使是几何问题，通常也是要转化为代数问题。

《周髀算经》和《九章算术》都是先秦时期君子的必学教材。而西周时期的那些“国子”们所面对的数学知识面，现代人也就不难想象了。

[旁注]

度量衡　是指在日常生活中用于物体计量长短、容积、轻重的统称。度量衡的发展大约始于父系氏族社会末期。因地域和国情不同计量统计方式不同。度量衡在我国古代地位很重，是百姓日常生活所接触的最常用的事物。

郑玄　（127年～200年），字康成，东汉著名经学大师。他幼年家贫好学，最终成为当时的大儒。后来，他潜心著述以古文经学为主的书籍，著有《天文七政论》、《中侯》等书，共百万余言，世称“郑学”。他是汉代经学的集大成者，对后世经学影响极大。

粟　小米，我国古代也称它为稷。是一种脱壳制成的粮食，因为它的粒很小，所以得名。在我国北方俗称谷子。粟原产于我国北方黄河流域，是我国古代的主要粮食作物。粟生长耐旱，品种繁多，有白、红、黄、黑、橙、紫各种颜色的小米，也有黏性小米。我国最早的酒也是用小米酿造的。

赋税　指田赋及各种捐税的总称，依照法律或习俗征收的款项，尤其是指应付给政府的费用。在我国古代，赋税是百姓要上缴给国家的税收，支撑着整个国家的运作与发展。赋税文化是我国传统文化的重要组成部分。

徭役　我国古代统治者强迫平民从事的无偿劳动。包括力役、杂役、军役等。古代，凡国家无偿征调各阶层人民所从事的劳务活动，都称为徭役，包括力役和兵役两部分。它是国家强加于人民身上的又一沉重负担。起源很早，以后历代徭役名目繁多，办法严苛。

《九章算术》　是我国古代学者所著的第一部数学专著，是“算经十书”中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志我国古代数学形成了完整的体系。

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“算经十书”是指汉代至唐代1000多年间的10部著名的数学著作的总称，它们曾经是不同时期算学科的教科书。这10部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《辑古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》。

在10部算书中，最重要的是《九章算术》，它对古代数学的各个方面全面完整地进行叙述的，在1000多年间被直接用作数学教育的教科书，它对以后我国古代数学发展产生深远了的影响。