无限奥妙——六艺之数

我国古代“六艺”中的数艺包括九科，它们分别是：方田、栗布、差分、少广、商功、均输、盈朒、方程、勾股。

在我国古代，数学和阴阳风水等活动一起，被归入术数类。它的主要功能除了解决日常的丈量土地、算账收税等实际问题，还要计算天体，推演历法。在这方面，我国古代有着惊人的成就。其中重要的数学成就之一，就是《九章算术》，它是古人研究九个问题的习题集。每道题有问有答有术，有的是一题一术，有的是多题一术，有的则是一题多术。全书九章，涉及的都是现实生活中的实际应用问题。《九章算术》在数艺教育中占有重要地位。

数艺教学内容与勾股定理

那是在我国周代初期，周公旦知道大臣商高非常擅长数艺，他便问当时的数学家商高说：“我听说你很精通数的艺术。是不是可请您谈谈，古代伏羲是怎样确定天球的度数的？天是没有一种梯子能登攀得上的，地也无法用尺子来测量。因此我很想问问您，这些数字是从哪里来的？”

商高回答说：“数的艺术是从圆形和方形开始的。圆形出自方形，而方形则出自矩形。如果假设把一个矩形沿对角线切开，让宽等于3个单位，长等于4个单位。这样，两个对角之间的对角线的长度就等于5个单位。”

商高又说：“现在用这条对角线作为边长画一个正方形，再用几个同外面那个半矩形相似的半矩形把这个这个正方形围起来，形成一个方形盘。这样，外面那四个宽为3、长为4、对角线为5的半矩形，合在一起便构成两个矩形，总面积等于24。然后从方形盘的总面积49减去24，便得到余数25，这种方法成为‘积矩’。伏羲所用确定天球度数的方法，就是从这些数字中发展出来的。”

周公感叹说：“数艺这门艺术真是了不起啊！我还想再请教关于丁字尺的道理。”

商高回答说：“丁字尺又叫直角三角形，如果使一个直角三角形平卧在地上，我们可以用绳子设计出平直的和方形的工程。如果把直角三角形竖立起来，就可以测量高度。倒立的直角三角形可以用来测量深浅，而平放的直角三角形则可用来测出距离。”

商高又说：“如果让直角三角形旋转，这样我们便可以画出圆形了。如果把几个直角三角形合在一起，我们就可以得到正方形和长方形。方形属于地，而圆形则属于天，所以天是圆的，而地则是方的。方形的数是标准，从方形的数就可以推出圆形的大小来。”

周公感慨道：“对地有所了解的人是聪明人，而对天有所了解的人则是圣人。知识出自直线，而直线则出自直角。因此，直角和数结合起来，就是指导和统治万物的东西。看来数艺真是一门神奇的本事！”

我国古代“六艺”中的数艺，也是君子的必修课之一，数艺包括方田、栗布、差分、少广、商功、均输、盈朒、方程、勾股这九科。

数艺是古代一门基础课目，它的主要功能除了解决日常的丈量土地、算账收税等实际问题，还有就是天文家计算天体，推演历法了。

西周时期，我国数艺并不是学习中的主要内容，它与礼、乐、射、御相比，其所占的比例是十分小的。不仅此时如此，即在整个知识体系和学术思想中，像数学这样的自然科学也没有清晰的面目，它们通常被划归于古代“数术类”。

“数术类”教学是一个很庞杂的门类，它包括很多知识，比如数学、地理、天文等，也包括一些巫术的内容，比如占卜、符瑞、天象、风水等。

虽然数艺教学在古时，它的内容和水平有限，但这并不意味着这一门知识不重要或者不发达。相反，我国数艺教学应用却是十分广泛的。

按照周礼的规定，周天子要在新年伊始时颁发日历，用以确立农时。所以，历法的制定除了天文观测积累经验外，更多的要靠数学运算。而这个运算过程相当复杂。

我国古代有一本《周髀算经》，它是一部以盖天说为中心的天文学著作。《周髀算经》的年代无法准确估算，其上限甚至可以追溯到西周初年，其下限或许可以定在西汉初期，也就是公元前2世纪前期。这本书中涉及很多数学知识，大体上保留了先秦时期的数艺教材。

《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用以及怎样引用到天文计算。《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理。

在我国先秦的数艺教学中，古人对直角三角形是十分重视的，古人除了借助它来计算长度距离，还可以用来计算面积，并将圆形也联系起来了。

我国古代的数艺教学中还描述了乘法表，这表明古代的四则运算已经趋于成熟了。甚至是勾股定理在西周时期已经是古人数艺的必修课了。

其实勾股定理中还涉及开方运算，虽然不能得知那个时候普遍意识到开方知识，但是在勾股定理实际运算中肯定要涉及开方的。

[旁注]

商高　西周初期的著名数学家。与周公旦同时期人。在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五。他的数学成就据《周髀算经》记载，主要有三方面：勾股定理、测量术和分数运算。据此可知，当时善于用矩的商高已经知道用相似关系的测量术。

伏羲　中华民族的人文始祖，三皇之首，百王之先。他发明创造了八卦、创造历法、教民渔猎、驯养家畜、婚嫁仪式、始造书契、发明陶埙、琴瑟乐器、任命官员等等，中华大地经过他的辛勤努力，中华文明有了很大的进步，对后世影响极大。

君子　古代指地位高的人，后来指人格高尚、道德品行兼好之人。在我国诸子百家中，儒家尤其是孔子对君子极为重视。虽然，在人格塑造的理想中，儒家有圣人、贤人，道家有真人、至人、神人，究其境界都要高于君子，然而圣贤究竟不世出，世间完人总是不多，所以君子备受推崇。

历法　是用年、月、日等时间单位计算时间的方法。主要分为阳历、阴历和阴阳历三种。阳历也就是太阳历，其历年为一个回归年。阴历也称为月亮历，或称太阴历，这种历法与月相相符，也与地球绕太阳周期运动相符合。

占卜　在我国古代，人们用龟壳，铜钱，竹签，纸牌或星象等手段和征兆来推断未来的吉凶祸福的一种手法。“占”意为观察，“卜”是以火灼龟壳，古人认为就龟壳被烧后出现的裂纹形状，可以预测吉凶福祸。

《周髀算经》　我国古代“算经十书”之一，约成书于公元前1世纪，原名《周髀》，是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。它在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用以及怎样引用到天文计算，对我国后世数学的发展影响很大。

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勾股定理是一个基本几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。我国古人能够总结出勾股这个复杂的定律，这说明他们已经能用勾股定理去解决一些复杂的难题了。无论是在理论上还是经验上，我国古人都已经具有了相当成熟的数学思维。无论是在理论上还是经验上，我国古人都已经具有了相当成熟的数学思维。

我国古代数艺中还隐含了比例问题，比如求天圆的过程中，比例这一点也是必不可少的。另外还包含有大量的分数问题，这说明了我国古人是非常有智慧的。