不知距离的高度怎么测

申志远讲了一个故事。在他刚参军的时候，有一次军事演习，派他去侦察山头上“敌人”的工事。他到了山头，其他情况都弄明白了，就是没有测出山有多高。

“那时候，你学过这些方法吗？”苏一萍问。“学过啦，就是用不上。”

“为什么呢？” “因为测不出距离来呀！”

“那么，到底能不能测出不知距离的目标高度来呢？”李小刚问。 “经过多次试验，终于找到了办法。”申志远说，“这办法也没什么奥

妙，就是两次运用臂长尺法。”

说着，他将右臂伸直，举起臂长尺，眯起左眼，瞄准对面山顶。对大家讲：“这是第一次用臂长尺测量，是 18 个分划。”然后，他面向山走了 50 复步，停下来，又举起铅笔瞄准山顶，说：“这是第二次用臂长尺测量，是20 个分划。我们用这两次测量的结果，代进公式里，就能求出山的高度。” 他蹲在地上写出：

20ｘ18ｘ75

山高＝ 100ｘ（20－18）＋1.5＝136.5米

“哪位同学讲讲两次臂长尺法测高的公式是怎么得来的？”申志远巡视着同学们。

好半天没人回答。李小刚捅〔tǒng〕了王勇一把说：“你这个数学迷还不快讲讲。”

王勇有些踌躇〔chóu chú〕地说：“我也没想好。反正是离不开臂长尺法测高的公式。”

他看申志远点着头，更有了些把握。先在地上画了个图，说：“假设水平视线以上的高度为 h，第一次测出的小分划数为 a，山顶铅垂线到站立点的水平距离为 L，第二次测出的大分划数为 b，前进的距离为 l。”接着他根据臂长尺法测高公式推算起来：

第一次测量结果：h＝ 100 ·L

第二次测量结果：h＝

b 100

·（L－l）

a b

∴ 100 ·L＝ 100 ·（L－l）

bl L＝ b − a

代入第一次测量结果中：

a bl

h＝ 100 · b − a

a·b·l

＝ 100( b − a)

∵H＝h＋眼高

∴H＝大分划ｘ小分划ｘ前进 + 眼高

100( 大分划 − 小分划)

申志远和同学们一齐向王勇投去了钦佩的目光。可是王勇并没有就此止步。他转身问申志远：“既然不知目标的距离能测出高度，那么如果是测距离，不知目标的高度也该能测出来啊？”

申志远说：“这个问题提得好。”他接着告诉大家，用两次臂长尺法也能测出不知目标高度（或宽度）的距离。公式是：

目标距离＝小分划ｘ前进距离

大分划－小分划

他指着前面的河流说：“请同学们根据两次臂长尺法测高度的道理，讨论一下怎么测量这条河的宽度？我写的这个公式是怎么求出来的？”

经过一番热烈讨论以后，由李小刚给大家作了一次表演。只见他在 O1 点面向对岸，手横握臂长尺，伸直胳臂，瞄准对岸的 A、B 两个目标，臂长尺上为 7 个分划；然后前进了 50 米，到 O2 点，仍瞄准对岸的 A、B 两个目标，臂长尺上为 10 个分划。

这时候，他学着王勇证明公式的方法画着图，说：“假设第一次测出的小分划数为 a，第二次测出的大分划数为 b，O1O2 的距离为 l，河宽为 L。” 接着证明起来：

∵目标距离 = 100

分划

∴L＋l＝ 100 ·AB

×目标高度（或宽度）

100

L＝ b

bL AB＝ 100

则L＋l＝ 100 · bL

a 100

aL＋al＝bL

L＝ al b − a

即河宽＝小分划 × 前进距离

大分划 − 小分划

7 × 50

∴河宽＝ 10 − 7 ＝116.7米

李小刚演算得很正确，得到同学们的好评。申志远说：“运用两次臂长尺法测量高度和距离，都要注意，两次测量站立点之间的距离不能太小，要使两次测出的臂长尺分划数有明显的差别，才准确。”

同学们正在练习着，一位社员跑来找申志远，说队里找他有事，学测量小组的同学才依依不舍地散去。