自然数概念

学习数学首先从自然数开始。自然数概念结构中，包括很多最基本的数学概念，特别是基数、序数、数的组成，而且涉及十进位记数法和自然数加、减、乘、除等。所以要确定是否已掌握自然数概念，往往以这些方面作为衡量指标。

心理学研究表明，儿童掌握数，最初是从模仿计数的活动开始的。先是像顺口溜似地唱数，这时唱出的数并不代表实际数量，这从他们点数实物时口和手不一致就可证明。只有在点数中能口手一致，且以数到的最后数词表示已数过的实物总数，才算是从实际数量相同的事物中，抽象概括出它们在数量上的共同特性。10 以内原始的基数概念通常就是这样掌握的。

计数活动不仅掌握基数，同时也掌握序数。点数实物使实际数量的多少与其前后次第的关系结合在一起。最初是分清相邻数的先后；后来才逐渐掌握标志次第的序数（第几）。因为序数不但涉及数而且涉及序，只有概括出一个数在群中所处的共同相应位置时才能掌握它。因此，不能简单地说先掌握序数或先掌握基数。这两种数概念的掌握是互相制约又彼此促进的。

儿童虽然在日常生活游戏中和在成人帮助下，通过把弄物体和模仿计数的过程，初步形成基数与序数的原始概念，但它具有很大具体性，不易与实物或操纵实物的动作分离开。只有经过正确教学，原始基数、序数概念的抽象水平才会逐渐提高，并在此基础上，使自然数概念进一步扩大发展。其所发生的本质变化如下：

首先，数词及数字的记数法，使原始的数概念摆脱实物和操纵实物的动作，逐渐获得更高度的概括性和抽象性。例如，10 以内的每个数词、数字各代表一群实物的实际数目以及它本身在序列中所占有的确定位置。由于在教学中利用有组织的物、图排列和“框图”形式渗透集合和对应思想，这就更有利于使“数”成为整体的数群概念及数序概念，从而提高这两个概念的水平。这些又都为数的组成、分解造成有利的条件，这时，数的序列成为分析数群的手段，加上引进的子集、并集思想，基数群就成为可分可合，不但获

得每个数的确定概念，而且获得了数的构成概念。再加上数的序列变化，隐含进函数的思想，这样，数的概念又进一步提高了。

其次，新的计数单位“十”的掌握，形成十进位概念，这时数概念的发展起了根本性变化。十以内的数是以“个”为计数单位，现在加上了以“十” 为新的计数单位，引进数位概念与满十进一的十进制概念，这就为数概念的发展创造了条件，从这时起，每一个数字其意义都超出了它对于具体数量的直接关系的范围。同一个数字当它处在不同数位时，就获得不同数量意义。因此，十个数字就可以以不同的配合表示任何十进制的数了。例如 12 与 21 是用同样两个数字组合而成的，由于数位不同，1 和 2 在这两个数中其意义是不同的。从此，数的概念的广度大大扩展了。每个数字通过十进的关系联成一气，构成整个自然数列的概念结构。

十进位概念也促使运算的方法与程序完善化。

最后，十进位的加、减、乘、除概念的形成，又反过来促进对数量关系理解的水平，进一步发展了自然数系的概念结构。

以上三方面对自然数概念发展的促进作用，互相交织在一起，在学生思维过程中建立起完整的关于自然数的认知结构。

必须指出，自然数概念的认知结构中，除上述各有关概念外，还包括诸如“一共”、“还剩”、“多几”、“少几”、“平均”、“倍数”等等数学用语的概念在内。