双假位法——盈不足术

双假位法是数学解题的一种方法。它实际上就是我国古代的盈不足术。这是我国古代劳动人民首创的解题方法。1957 年钱宝琮先生曾建议恢复“双假位法”原来的名称，仍叫“盈不足术”，也正是基于此。

现在你遇到下面这样的题时，用二元一次方程组的解法非常简单。

有几人买鸡，每个人拿 9 个钱，多余 11 个钱；每人拿 6 个钱，不足 16 个钱。问几人买鸡，鸡值多少钱？

设人数为 x，鸡值为 y，则 y=9x-11

y=6x+16

解方程组得 x=9

y=70

而在 2000 多年前的《九章算术》中，就有此类应用题，古人称其为“盈

不足”问题。计算这样的问题，古人创造了别开生面的解题法——盈不足术。古人是怎样运用的呢？

《九章算术》有这样的记载：

“置所出率，盈、不足各居其下。令维乘（即交错相乘）所出率，并以为实；并盈、不足为法⋯⋯置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数。”

把这段话用算式表为就是：

按现代数学的观点来说明这段话，实际上这段话包含了三个公式。若设每人出 a1 钱盈 b1 钱；每人出 a2 钱盈 b2 钱，求物价 y 和人数 x，可得二个公式，即 y=

a1b2 + a2 b1 和 b1 + b2

a1 − a2 a1 − a 2

每人分摊的钱数是：

y = a1 b2 + a2 b1

x b1 + b2

本文开头的《共买鸡》题，正是盈亏类问题，即“一盈一不足”。而与此性质相似的还有“两盈”、“两不足”、“一盈一适足（正好）”、“一不足、一适足”四类问题。这四类，古人也提出了适当的公式。

历代数学家对“盈不足术”十分重视。甚至有些政治家还用它来考核官吏。

唐宣宗大中年间，杨损在朝作尚书。杨损知识渊博，为政清廉。在选拔官吏时也以公正著称。一次，有两位小官吏，需要提一个。但比较二人的政绩、资历、职位等都差不多，主考官大伤脑筋，便前来请教杨损。杨损说： “我给他们出道题，看谁算得准、算得快。”

不久两人来到杨损的书房，杨损的题目是：

有人黄昏去散步，无意听见盗贼在分布。他们说，如果每人分 6 匹，会

余下 5 匹布；如每人分 7 匹，却又差了 8 匹布。现在问，几个盗贼多少匹布？ 杨损出完题接着说：“你们谁先算出来，谁就会被提拔。”

两位候选人听完题，马上用算筹算起来。结果，那位先交卷的官吏被选中。

同僚知道后，无不称赞杨损的好主意。那这位候选人，是如何计算的呢？ 他用的就是“盈不足术”。算式是：

设布匹数为 y，盗贼数为 x，则

y = a 1b2 + a2 b1

a1 − a 2

= 6×8 + 7×5

7 − 6

= 83

x = b1 + b2

a1 − a2

= 5 + 8

7 − 6

= 13

从以上我们讲的两个题例可以看出，双假位法与我国古代的盈不足术是一致的。只不过我国古代时还没有设 x、y 的说法，因为当时还没有西文字母。我国古代创造的解题方法一直延用至今，充分表明了我国劳动人民的聪明才 智，在世界科技史上，也留下了光辉的一页。