奇妙的三兄弟

自古以来，在我国各地，就流传着多种多样的智力游戏。其中，有的流传至今，深受欢迎。

最近，见国外介绍一种叫做“拣石子”的游戏，明确指出是从中国学来的，有的学者还就此写了论文。可惜它究竟起源于我国什么朝代，流传情况如何，已经无从查考了。

这个游戏的玩法非常简单，只要在地上拣些小石头或者小树杈，分成两堆，每堆的个数可以是任意的，只要不相等就行。玩的规则如下：

一，两人轮流拿石子，每次可以从一堆石子中，任意取一颗或者几颗， 直到把一整堆石子全部取走。也可以从两堆中，任意取走相等数量的石子。

二，每次轮到谁拿，他至少得拿一颗石子，不允许弃权，一颗都不拿。三，谁拿光剩下的石子，就算他赢了。

说也奇怪，这个看起来十分简单的游戏，要想十拿九稳，取得胜利，很不容易。不知道取胜诀窍，马虎大意随便拿，只能一输到底。

诀窍在哪里呢？ 先请看这张表：

表中第一排数，是表示拿石子的先后顺序的。第二和第三两排数，叫做A 数列和 B 数列，数列中相应的数构成一对。例如第五对是（8，13），第九对是（14，23）。

你想取胜，只要记住：在每次取走石子以后，要是能使留下的石子个数， 和表中 A 数列和 B 数列的某一对相符合，就必胜无疑了。所以，你可以把（1 ， 2 ），（3 ，5 ），（4 ，7 ），⋯⋯ 这些数叫做“胜利之数”。

举一个例子。

开始时，两堆石子分别有 7 颗和 11 颗：

0000000

00000000000

要是你先拿，就可以在第二堆中取走 7 颗石子，使它成为：

000000

0000

注意，这对（4，7），是表中的第三对。

以后，不管对手怎样动作，你总是稳操胜券了。要是对手从两堆石子中各拿掉一颗，使它成为：

000000

000

这时，你就可以再从第一堆中取走一颗石子，使留下的石子数，是表中第二对（3，5）：

00000000

这样一步一步，从表中较大的一对数，逐渐过渡到较小的一对数，就可

以保证你拿到最后的一颗石子。

你可能要问：表上一对一对的数那么多，又看不出有什么变化规律，这怎么记得住呢？

是怪别扭的，不好记。可这正是游戏的奥妙所在！

说到这里，讲一个“无理数三兄弟”的故事给你听。因为这个故事和拣石子有密切关系。

在数学里，不循环无限小数叫做无理数。它是一个庞大的家族，成员比有理数家族多得多。在这个家族里，有三兄弟的模样和脾气特别相像。

其中，老大是2 .61803398

3 +

准确值是 2

5

；老二是1.61803398

准确值是1 +

2

相差1。

5 ；老三是0.61803398

准确值是

5 − 1

2

。他们挨个正好

在这三兄弟中，老三来头不小，它随同华罗庚教授奔走大江南北，在推广优选法中立下了汗马功劳，这就是有名的 0.618 法。优选法里用 0.618 最

好，这是 1953 年一个美国人发现的。为什么 0.618 最好？国外虽有一些证明， 可都是不正确的，华罗庚指出了这一点。随后，我国青年数学家洪加威，在1973 年首先发表了一个严格的证明。

从历史上来看，老三早在古希腊、罗马时代，就已经名扬四海，叫做“黄金分割数”，和绘画、雕刻、建筑等都结下了不解之缘。

三兄弟友爱相处，亲密无比，它们之间的奇特联系，说出来令人大吃一惊。不信，你用笔算一下就知道了。

现在，请你把老二和老三乘一乘：

( + 1)(

4

• 1) = 5 − 1 = 1。它们的乘积是1。换句话说，老二和老三4

是互为倒数。在一切实数中，只有唯一的这样一对具有倒数关系的正数，而它们的差是 1。

老大和老二的关系也很不平常。老大正好是老二的平方，而它们的差是1。在全部实数中，具有这种关系的一对正数，也是独一无二的。

这样，要是你设老二为 x，得老大是 x+1，老三是 x-1，那么，x（x-1）

=1，1+x=x2。

搞清楚了它们之间的这种关系，要是你把老二记为φ，那老大就是

1

，老三就是 φ 。

说到这里，原来上面拣石子游戏中很难记住的 A 数列，它的通用公式是[nφ]，B 数列的通用公式是[nφ2]。注意，这里的 n 表示序数；〔 〕不是中括号，而是表示对正数来说，只取整数，略去小数，比如[2φ]=[3.236]=3， [2φ2]=[5.234]=5。

不仅如此，A 数列和 B 数列中所有的数，正好是全体自然数，既不重复， 也不遗漏！

这些性质是惠特霍夫发现的，所以这个游戏，在国外就叫做惠特霍夫游

戏。

游戏说到这里，你也许会问：有没有简便办法，可以排出这个胜利之数

的表格呢？

回答是有。按照下面的办法，你马上就能把这个表排出来：

一，第一对胜利之数当然是（2 ，1 ）。对方不论怎么拿，剩下的你都能一把抓尽。

二，比 1 ，2 大的数轮到了 3 。3+序数 2=5 ，（3 ，5 ）就是第二对数。下一个轮到 4 ，4+3=7，（4 ，7 ）就是。

三，以此类推。要是第 1 ，2 ，⋯⋯，n-1 对数都排好了。那第 n 对中的 A 数，就是前面没用过的最小自然数。把它加上序数 n ，就得到 B 数。

为什么这样拿必胜，说来话长，就不多说了。

（张景中）