奇妙的进位

世界上所有的发明和创造，归根结底都是为了应用。数学也是一样，抽象的逻辑关系往往是由具体的事物和矛盾而发生出来的。数字运算中不可缺少的进位制就是一个例子。

上古时候，人们为了数出物体的个数，便产生了自然数的概念。但是，如何读出和说出这些数呢？由于自然数有无限多个，如果每一个都用一个独立的名称和记号来表示，这显然是不可能的。有人对莎士比亚著作中的单词作过统计，共有 1 万 7 千个不同的词，即使一个英文程度很好的人，在阅读这些著作时，也非有一本专门辞典不行。文字是如此的复杂，数字要是没有一种简化的方法去表示，也像文字这样复杂，那在表达数量关系时所出现的困难，是很难设想的。实践的需要促使进位制的产生。

早在有文化的初期，多数民族由于实际生活的需要，都或多或少地创造出一定的进位制；但是，用专门数码来表示数的书写方法，却产生得很晚，甚至像古代希腊、罗马这样有高度文化的民族，用数码来表示数的书写方法也是极不完整的。直到纪元初年，人们才初步应用数码，并按一定的进位制来表示数。

国际上通用的是十进制读数与记数方法，即较低位上的十个单位组成较高位上的一个单位。在我国，很早就运用了这种进位制。如周代《易经》中表示数量时曾有“万有一千五百二十”的记载，说明早在 2 千多年前，我国

就有了十进位制。后来，甄鸾在他的《数术记遗》（成书于公元 6 世纪）中还有下面一段话：“黄帝为法，数有十等，乃其用也，乃有之焉。十等者：亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载。三等者，谓上中下也。其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也。中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京也。上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，铛兆曰京也。”从这段话我们可以看出，当时虽采用了十进制，但缺乏统一的规定，主要原因是那时的生产力不发达，人们在实际生活中还不迫切需要用很大的数记载。

据调查，美国原始亚美利加各族的 307 种计数系统中，有 146 种是十进位的，106 种是五进位和二十进位的。可见，十进位制在历史上为人们所普遍采用。人类为什么喜欢十进位呢？根据语言学家对世界各进化民族和多数原始民族语言的研究，这是由于人类的手有十个手指，可以自由伸展。是一个很好的天然计数工具，因而不谋而合地都采用了十进位制。在英文中， “dight”这个单词既可以当“手指”讲，又可以理解为“数字”，这与人们长期用手指表示数字，是有必然联系的。另外，十进位制比较简单，这也是它传播最广的一个重要原因。

当然，除了十进位制外，还有其它进位制。实际上除了 0 和 1 以外，任何自然数都可以用来作为进位制的基础数。例如：二进位制，三进位制、五进位制等等。像北美的印第安人，中南美的少数民族、西伯利亚的北部民族及非洲人等，常用五进位制和二十进位制。1937 年在罗马尼亚境内发现旧石器时代的一根幼狼的挠骨，长七英时，上面有五十五个刻痕，前面二十五个是五个一组地排列着，随后一个刻痕是原长的两倍，作为这一列的结束。这是五进位制应用的一个证明。巴比伦人最初使用六十进位制，直到现在我们还在使用这种进位制，如一小时等于六十分钟，一分钟等于六十秒，圆周等

于三百六十度，一度等于六十分等。在今天还在应用的进位制还有十二进位制，如一年有十二个月，一天是二十四小时（钟表面上仍只用十二）等，从英文数字的构词形式上也能看出十二进位制的痕迹。学过英语的人都知道，英文中从 1 到 12，这十二个数字是独立的，13 以后才有一个统一的构成法。

科学技术发展到今天，很多问题的解决都需要进行大量的计算。在许多情况下计算速度要求很高，必须使用自动控制。有些数学问题计算工作量很大，如建筑巨型水力发电站的拦河坝工程，就需要进行极为繁杂的计算。这里遇到的联合方程已经不是两三个未知数，而是十几个、几十个乃至上百个未知数，其计算的艰难复杂程度可想而知。堤坝设计不仅是整个工程的关键，而且直接关系到千百万人的生命安全，要求计算准确，迅速，这些都促进了计算机技术的不断发展。为了适应这样的需要，人们发明了二进位制，用 0

和 1 两个符号，就可以把一切自然数表现出来。如

自然数一，二，三，四，五，六，七，八，九，十，⋯⋯ 十进制 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，⋯⋯

二进制 1，10，11，100，101，110，111，1000，1001，1010，⋯⋯ 为了区别不同的进位制，我们常用括号加注的方法。如，在十进位制里，

数 101 表为（101）10；在二进位制里，数 101 表为（101）2。

由于二进位制只有两个数字（0，1 ），人们就把电路的“开”、“关” 分别表示 0 和 1 这两个数码，进行复杂的运算，这就是电子计算机的简单原理。

随着科学技术的发展，奇妙的进位必将得到更加深入的研究和广泛的使

用。

（谭英）