韩信点兵

韩信是我国历史上著名的兵法家之一，“韩信点兵”说的是：某天扎营后，韩信为了弄清某营帐士兵的具体人数（大概人数他知道），却并不亲自点数，只是传令下去，让那个营帐的士兵分几次按不同人数列队，并把每次列队后的剩余人数①报上来。得知这几次列队的余数后，韩信马上就能把士兵的总数算出来。

韩信点兵的秘诀在哪里呢？为了便于讨论，设这些士兵先后按 3 、5 、7 人数列队，它们的余数分别为 a 、b 、c 。

解法 1 ：由题意可立方程式

x = 3n1 + a，

x = 5n + b，

(1)

(2)

 ₂

x = 7n3 + c。

(3)

因 3 、5、7 的最小公倍数是 105，故将(1)×35 、(2)×21、(3)×15，

得

35x = 105n1 + 35a，

21x = 105n + 21b，

(4)

(5)

 ₂

15x = 105n 3 + 15c。

(5)+(6)-(4)，得

(6)

x=-35a+21b+15c+（n3-n2-n1）·105

=105（n3+n2-a）+70a+21b+15c 。 令 70a+21b+15c=105n4+r，上式变为x=105（n4+n3+n2-n1-a）+r

=105n+r。

式(7)表明 x 有无穷解，r 是最小的一个正整数解。105 是 3 、5 、7 的最小公倍数，将式（7）代入(1)、(2)、(3)式后，无论 n 取任一正整数，三个余数 a 、b 、c 的值总不变。

如设 a = 1、ｂ=2、c=3，由70a+21b+15c=157=105+52，

得 r=52。

再由式(7)得 x=105n+52。

即知士兵的总人数为 52 人、157 人、262 人，⋯⋯。

在有无穷解的情况下，韩信又怎能确定士兵总数呢？因为韩信已知士兵的大概人数（设有一、二百人），所以他能在得知几次列队的余数后（设 a=1、b=2、c=3），很有把握地算出

了这部分士兵的总人数（x=105+52=157 人）。

解法Ⅱ：我们首先引入一个概念：“同余”。如果 a、b 两数分别除以 m 后所得余数相同，就说：对数 m，a 和 b“同余”。

记作 a≡b（modm），m 称为模数，符号≡为同余。不难理解，如某数 a 除以 m 所得的余数为 r，

即 a=ma1+r，

① 如排成五列横队，剩余人数可能是 0、1、2、3、4 人。

则 a≡r（modm）。例 1.∵14=5×2+4，

∴14≡4（mod5）。例 2.∵11=5 ×2+1，

21=5 × 4+1，

∴11≡21（mod5）。例 3.∵26=8×3+2，

-14=8×（－2）+2，

∴26≡－14（mod8）。

如设 a≡b（modm）；c≡d（modm），可得以下同余式的推理： a+c≡ b+d（modm）； a－c≡ b－ d（modm）； lca≡kb（modm）；ac≡bd（modm）； an≡bn（modm）。

在分析一些有关的余数问题时，如运用同余式及其推理，将使问题得到简化。由上述韩信点兵问题的题意可得同余式：

x≡a（mod3）， x≡b（mod5），x≡c（mod7）。以上三式可变换为：

35x≡35a（mod105）， (1)

21x≡21b（mod105）， (2)

15x≡15c（mod105）。 (3) (2)+(3)－ (1)，得

x≡21gb+15c-35a（mod105）， x≡70a+21b+15c（mod105）① 。 令 70a+21b+15c=105m+r，上式变为x≡r（mod105），

即得 x=105n+r。

以上两种解法得到的结果相同。关于三、五、七列队的解法，在我国民间还流传有一首诗：“三人同行七十稀，五树梅花甘一支，七子团圆整半月， 除百零五便可知。”

（赵为禾）