七 为改进实验提供依据

对于定量实验，根据误差理论来决定实验是否需要改进并了解改进的效果如何是比较可靠的。在一般情况下（或在实验可以较方便地重复多次的情况下），只需以实验的系统误差为依据，这里特别要注意仪器误差（这是易为人们所遗忘的）。对于不易重复的实验，还需考虑偶然误差。如， 在温度变化的某一时刻来测温，或在电流（或电压）逐渐减小的某一时刻来测电流（如“利用电容放电来测定电容”）时，就必须考虑偶然误差。

表头内内阻的测量

1．并联半值法

高中物理课本①中学生实验“把电流表改装为电压表”是利用图 8-8 所示的电路来测定电流表的内电阻 rg 的。图中，R 是一个（470kΩ）的电位器，R＇只是电阻箱。合上开关 S1，调整电位器 R，使电流表指针偏转到满刻度（不得超过满刻度）。然后，再合上开关 S2，调整电阻箱 R＇的阻

值，使电流表指针偏转到正好是满刻度的一半。当 R 比 R＇大很多时，接入 R＇后，干路中电流变化不大，因此可以认为 rg=R＇。这种方法通常称

为并联半值法。下面来对这一方案进行分析。

（1）实验原理。

在图 8-8 中设流过电流表的电流为 I1，流过电阻 R＇的电流为 I2，流过总干路（R）的电流为 I，电源内阻为 r。

当只合上 S1 时（满偏）有：

I =   ε (1)

R + rg + r

再合上 S2 时（半偏）有：

I ′ =   ε · R′

(2)

R + R′rg + r rg + R′

R′ + rg

由（1）、（2）式解得：

r = (I1 − I1′)(R + r) (3)

I ′ +



R + r

R′  ¹

在不考虑电阻箱和电流表的仪器误差的情况下，由于

I1 = I

_g，I1 ＇

1

= 2 I g

，以此代入（3）式可得：

rg =

R + r

R + r − R′

R′ (4)

若 R》R＇（如 R≥100R＇）那么，R+r-R＇≈R+r，因此有：

rg=R′（5）

（2）误差分析。

①方案误差。

比较（3）、（4）两式可知，用（5）式代替（4）式引起的相对误差为：

δ = = R′ ≈ rg 

(6)

1 R + r  R + r

由（6）式可见，δ1 的大小取决于 rg 与 R 大小的关系（一般电源用蓄

电池或干电池，其内阻通常比 R 小得很多，可略去不计；也可将 r 当做包含在 R 之中）。如果 R≥100R＇≈100rg，那么，δ1≤1%。R 的作用相当于一只限流电阻，它使得只合上 S1 时，电路中的电流为电表的满刻度值。因此，若要增大 R 的数值（即增大 R 与 rg 的比值，以减小δ1 的大小），就

应该提高电源的电动势。如，通常实验用的电流计（如 J-DB2×A 型、J0409 型、JHK—G 型、J0409—1 型）的表头灵敏度为 300μA，内阻

在100Ω左右。假如电源用一节干电池（电动势为1.5V），则R = 1.5

3 × 10^-4

-100≈5000Ω，δ≈2%。若电源用二节干电池（电动势为 3V），则 R≈10000 Ω，δ≈1%。若电源用三节干电池（电动势为 4.5V），则 R≈15000Ω，δ

≈0.7%。

②仪器误差。

在（3）式中，考虑到实验所满足的条件：R>>R＇（r 计入 R 之中或略去不计），可将（3）式近似为

r = I1 − I1 ′ R′ (7)

g

1

在（7）式中，I1，I1＇，R＇的直接测量误差，都会引起 rg 的（间接测量）误差。由（7）式，根据误差公式（用绝对值和法）可得：

δ2 =

△I1

I ′

+ 2 △I1 +

I − I ′

△R′

R′

(8)

1 1 1

设：电流表的准确度等级为 k 级①；电阻箱的准确度等级为α级，常数为 b（Ω）②。那么，以 I1=2I1＇代入上式可得：

δ2 = 6·k% + a% +

R′

(9)

通常如 J0409—1 型电流表等的准确度为 2.5 级；简式电阻箱（J2362 型）的精度为 1.5 级，b=0.01Ω；教学用电阻箱（J2361 型和 J2361—1 型） 的精度为 0.5 级，b=0.002Ω。因此，δ2 的大小为：

δ2=15％+1.5％（9）′

或

δ2=15％+0.5％（9）″

考虑到实际情况，J2362 型简式电阻箱和 J2361 型教学用电阻箱的最小步进值均为 1Ω。如果 rg 值介于某两步进值之间（如 95.6Ω），那么， 由于电流表的精度不够高，当电阻箱示数偏离 rg 值而指示某一靠近值（如

96Ω）时，电流表指针偏离“半值”的程度不足以使人观察出，从而造成测量的误差可达 0.5Ω。对于上述的电流表来说，这个误差可达 0.5%。在这里及下面的讨论中，为方便起见，这一误差暂不记入。

综合以上所述，“并联半值法”的实验误差（最大系统误差，下同） 由下式决定：

δ = R′

R + r

+ 6·k% + a% + b

R′

(10)

实验误差主要决定于仪器误差。对于用一般中学常用仪器来进行实验的情况来说，实验误差可达 16%左右。

即使对于中学学生实验，这样大的误差（尽管是最大系统误差）也是不能令人满意的。下面提出（或提供）若干改进方案，并对其误差情况进行分析。

1. 改进方案（一）——增大电动势

不少文章对“并联半值法”仅仅进行了方案误差分析后，认为只要提高电源电动势、减少内阻，就可使误差大大减小。从我们前面的分析可见， 提高电动势，必然要增大 R 的数值，这样确能减小方案误差。但是，由于方案误差比起仪器误差来说小得多，因此，提高电动势决不能使实验误差减小到可观的程度，也就是说，这个方案不能从根本上解决问题。

1. 改进方案（二）——加电流表限流

在图 8-8 中，当合上 S2 并上 R＇后，将改变电路中的电流强度（使 I＇

＞I），使得流过电流表的电流I

′= 1 I 不等于流过R′中的电流I ′：

1  2 g  2

所以：

I2′>I1′

R'<rg

这就使得实验值小于真实值，从而引起方案误差。

如果能使 I＇=I，即 I2＇=I1＇，就可消除这一方案误差。为此可在电路中串连一只量程大于（稍大于）被测表的电流表 A0，如图 8-9 所示。这样当合上 S2 后，可调节 R＇和 R①，

使I1＇

1

= 2 I g

，同时使I＇仍等于I。

这个方案与前一个方案一样不能消除原有的仪器误差（而且，如果接入电流表 A0 的准确度级别较低、量限过大，还可能由此再引入一些误差），

也不能将实验误差减小到可观的程度。 4．改进方案（三）——加毫伏表限压

如图 8-10 所示。先调 R 使其为一个较小的阻值 R1（或调为零）。合

上 S，调节 R0 和 r，使其电流表满偏，记下毫伏表读数 UAB，根据欧姆定律可得：

UAB=Ig（R1+rg） （11）

然后，调节 R，r 和 R0，使得电流表半偏，而毫伏表读数 UAB 不变。此时 R 的阻值为 R2，由此得：

U′AB = UAB

= 1 I

2 g

(R2

• rg

) (12)

由（11）、（12）两式可得：

rg=R2-2R1 (13)

这一方案虽然消除了方案误差，但其由电流表、毫伏表、电阻所引起的仪器误差要比图 8-8 所示的方案大得多。故此，这方案谈不上改进。

5．改进方案（四）——串联半值法

串联半值法是在并联半值之前所采用，后为并联半值法所取代的方 法。有些文章认为，只要保持如图 8-11 所示的 A，B 两端的电压恒定，那么，利用“半值法”可精确地测出 rg 的值（原理与上一改进方案相同）。

在 A，B 两端提供恒定电压的方法可以用如图 8-12 所示的分压法（如果图中的 R＇比 RAB=R+rg 小得很多，就可以认为 UAB 不会因 R 的变化而有所改

变）。这一方案的误差情况与上一方案相似，故也不宜采用。6．改进方案（五）——测 Ug 的方法

在 Ig，Ug，rg 三个量中，Ig 是确定的（满刻度值），如果能测得 Ug（电

压灵敏度）即可利用

r = Ug

g I

(14)

g

求出 rg。

要测 Ug，可用如图 8-13 所示的电路（不用分压器也可以，用分压器更便于调节）。调节 R＇，R，测电流表满刻度时的毫伏表的示数 Ug，然后由公式（14）求出 rg。

这一方案的原理比较简单明了，不存在方案误差。其实验误差完全由电表的测量误差决定：

δ = △U + △I

(15)

Ug I g

如果毫伏表的量程为 U0，准确度级别为 e，电流表的准确度级别为 k， 那么，（15）式可写成：

δ = U0 ·e% + k% (16) Ug

1. 改进方案（六）——替代法（1）

将电流表作为一只未知阻值的电阻看待，如果它在电路中的作用可用一只已知阻值的电阻来替代，那么可以认为这一未知电阻的阻值与这一已知电阻的阻值相等。这种测量未知电阻的方法叫替代法。

如图 8-14 是一个替代法方案。A0 表为一指示电表，它的量限可与 A

表基本相同。实验时，先将 S 合向“1”，调节 R＇，使 A0 表指示某一数值I0（在不超过 A0 表的量限的前提下，使 I0 尽可能大，且指示在刻度线上， 以减小读数误差），记下 I0 的数值。将 S 合向“2”，调节电阻箱 R，使 A0 表的示数仍为 I0。这时，电阻箱的示数 R 可看做与 rg 相等

rg=R

这种方案的实验误差由指示电表和电阻箱的测量误差所决定：

δ = △I + △R

(17)

I 0 R

如果指示电表的量限为 I，准确度为 k 级；电阻箱的级别为α，那么上式可写为：

δ = I I 0

在现在所设情况下

• k% + a% (18)

δ≈k％+a％（18）

如果指示电流表、被测表和电阻箱都用前面所说的厂制教学仪器，那么，

δ=4%（用 J2362 型简式电阻箱）

或

δ=3%（用 J2361 型或 J2361—1 型教学电阻箱）

A0 表亦可按图 8-15 所示的电路连接（实验步骤略）。这个方案的误差与图 8-14 所示的方案的误差相同。

1. 改进方案（七）——替代法（2）

如图 8-16 所示的电路也是一个替代法方案。这个方案的误差由下式决定：

δ = △U + △R

(19)

或者写成：

U0 R

δ = U U 0

• e% + a% (20)

如果没有毫伏表，是否可用一般中学都有的 J0408 型（或其他相似的） 双量程（-1～3V，-5～15V）直流电压表进行实验呢（有的资料认为可以）？ 有一方案如下，实验电路如图 8-17 所示。

先将 S 合向“1”，调节 R＇和 R，使电压表指示某一接近满刻度的读数 U0（最好指示在某一刻度线上）。这时，电流表指针不超过满刻度，电阻箱 R 的示数为 R1。然后将 S 合向“2”，再调节 R＇和 R，使电压表示数

仍指向 U0，这时，电阻箱 R 的示数为 R2。由此可得：

rg=R2-R1 （21）

这一方案的实验误差由下式决定：

δ = U U0

• e% + 2a% (22)

δ ≈ e% + 2a% (22)′

如用上述中学实验常用的厂制教学仪器进行实验，那么，实验误差为： δ≈5.5%（用 J2362 型简式电阻箱）

δ≈3.5%（用 J2361 型教学电阻箱）

按上面的分析，图 8-17 所示的方案似乎是可行的。然而，这一方案要确定可行，关键在于对于一个 U0 值，R1（或 R2）是否是一个确定的值，或者说，当 R1 在多大范围内变化时，U0 的值看不出有所变化，R1 的这一变化

范围是否为实验所允许？如果这一变化范围过大，那么，由此而引起的实验误差就很大，这一方案就不可行。对此，可作下述分析。

设：电源电动势为ε，内阻为 r。根据欧姆定律可得：

U =   ε (R + r ) (23)

g

R + rg + R′ + r

对上式微分可得：

 ε ε(R + rg ) 

△U =  (R + r + R′ + r) − (R + r + R′ + r) ² △R

 g g 

=   ε( r + R′) ′R

(24)

(R + rg + R′ + r )

2

设：U0=3V，由于 Ig=3×10-4A，

所以， R + r = U0

g

= 10000Ω

再设：电源用两节干电池，ε=3V，r=1Ω，R＇=0。因为（-1～3V）挡的直流电压表的最小分度是 0.1V，所以，可以肯定，当电压值有±0.005V 以内的波动时，电表指针决不能反映出来（这是很保守的估计）。故设Δ U=0.005V。由此，根据（24）式可得：

△R =

(R + rg

+ R′ + r) ²

·△U

ε(R′ + r)

= 10001² × 0.005

3 × 1

= 166667(Ω)

如用 4 节干电池，那么，

ε = 6V，R′ + r =

U = ε − U₀

= 10000(Ω)

△R =

Ig

(10000 + 10000) ²

6 × 10000

I g

× 0.005 = 33(Ω)

如用 J1202 型学生电源，那么，最大挡电压ε=14V，

R′ + r ≈ ε − U0

I g

= 36667(Ω)

△R =

(10000 + 36667)²

14 × 36667

× 0.005 ≈ 21(Ω)

由上述分析可见，用中学学生实验器材来进行实验时，由于 R 的不确定性而给实验结果造成的最大误差不少于 42%（∵ΔR1=ΔR2=±21Ω=± 0.21rg）。因此，这一方案是不可行的。通过对图 8-17 方案的进一步分析，

使我们看到了替代法的缺陷，即用以替代的电阻（R）的阻值能否（在实验允许的情况下）唯一确定的问题。由此，自然使人连想到图 8-14、图 8-15、图 8-16 所示方案的可行性问题。对此，我们就中学学生实验器材的实际情

况，以图 8-14 的方案为例，来分析它的可行性问题。

设：A0 表是与 A 表同样规格的表，即 Ig=300μA，Vg=30mV，rg≈100 Ω，流过 A0 表的电流为 I；电池用 1 节干电池，ε=1.5V，则：

I = ε

rg + R + R′ + r)

(≈ I g

) (25)

△I =

△R =