十一、专题 带电粒子在匀强电场中的运动

(一)原理和应用

带电粒子在电场中要受到电场力的作用，产生加速度，速度的大小和方向都可以发生变化。在现代科学实验和技术设备中，常常根据这个道理， 利用电场来改变或控制带电粒子的运动。这种应用大致可以分成两种情况：一是利用电场使带电粒子加速，一是利用电场使带电粒子偏转。下面结合示波管的原理讲述带电粒子在电场中的加速和偏转。

带电粒子的加速 如图 1－62 所示，在真空中有一对平行金属板，两板间加以电压 U。有一个带正电荷 q 的带电粒子，在电场力的作用下，由静止开始从正极板向负极板运动，到达负极板时的速度 v 有多大？根据我们学过的力学和电学知识就可以解决这个问题。带电粒子由正极板移向负极板的过程中，电场力所做的功 W=qU。带电粒子到达负极板时的动能

1 2

Ek = 2 mv

1

。由动能定理可知qU = 2 mv

2，由此即可求出

v = (1)

我们知道，两平行金属板间的电场是匀强电场。如果两极板不是平行金属板，而是其他形状，中间的电场将是非匀强电场。这时(1)式是否成立？ 说明理由。

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**[例题 1]**实验表明，赤热的金属丝可以发射电子。如图 1－63 所示， 在赤热金属丝和金属板间所加的电压 U=2500 伏，以赤热金属丝发射出的电子流在真空中被加速后，从金属板的小孔穿出。穿出后的速度 v 有多大？ 设电子刚从金属丝发出时速度为零。已知电子的质量 m=0.9×10-30 千克， 电子的电量 e=1.6×10-19 库。

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金属丝和金属板间的电场虽然不是匀强电场，但仍可用公式v =

2qU / m求出

v = = 米 / 秒

= 3.0 × 107 米 / 秒

有一种电子仪器叫做示波器，下面我们要练习使用它。示波器的核心部件是示波管(图 1－64)，它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，管内抽成真空。图 1－64 其实就是电子枪的原理图。如果偏转电极没有加电压， 电子束从金属板小孔穿出后将沿直线前进，打在荧光屏上，在那里产生一个小的亮斑。

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带电粒子的偏转 如图 1－65 所示，在真空中水平放置一对金属板 Y 和 Y’，板间距离为 d。在两板间加电压 U，则板间匀强电场的强度 E=U／d。

现有一电量为 q 的带电粒子以水平速度 v0 射入电场中，由于受到竖直方向的电场力 F=qE，带电粒子将发生偏转。金属板 Y 和 Y’叫做偏转电极。下面通过例题研究带电粒子的偏转。

**[例题 2]**一电子水平射入偏转电极 Y 和 Y'的电场中(图 1－65)，射入时的速度 v0= 3.0×107 米／秒。偏转电极长 l=6.0 厘米，相距 d=0.2 厘米， 两极间的电压 U=2.0 伏。求射出电场时竖直偏移的距离 y 和偏转的角度? 。

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电子在竖直方向做匀加速运动，加速度 a=F／m=qE／m=qU／md。射出电场时竖直偏移的距离 y=at2／2，其中 t 为飞行时间。电子在水平方向做匀速运动，由 l=v0t 可求得 t= l ／v0。将 a=qU／md 和 t= l ／v0 代入 y= at2

／2 中即可求得

ql 2

y = 2mv2d U

(2)

代入数值得 y=0.036 厘米。

qlU

电子离开电场时竖直方向的分速度v⊥ = at = mv d ，离开电场时偏转

的角度∃可由下式确定

v

tg∃ = ⊥

v

= ql U

mv2d

(3)

代入数值可求得

0 0

∃ = 0．68°.

在示波管中如果偏转电极 X 和 X'没有加电压，电子离开偏转电极 Y 和Y'后将沿直线前进，打在荧光屏上产生亮斑，这个亮斑在竖直方向发生偏移 y'(图 1－66)。

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改变加在偏转电极 Y 和 Y'上的电压 U，亮斑在竖直方向的位置也随着改变。当 Y'的电势高于 Y 的电势时，亮斑移向下方。当 U 随着时间而变化时，亮斑的位置也随着时间而改变。从(2)式和(3)式可知，y 和 tg? 都与U 成正比，由此可以判断，亮斑的偏移 y'也与 U 成正比。可见，亮斑在竖直方向偏移的规律与电压变化的规律应当是相同的。如果电压按正弦规律变化 U=Umsinωt，偏移也按正弦规律变化 y’=y’msinωt，即亮斑在竖直方向的运动是简谐振动。不过当电压变化很快时，亮斑的移动也很快，由于视觉暂留和荧光物质的残光特性，在荧光屏上亮斑的移动看起来成了一条竖直的亮线。

希望你自己推出偏移 y'的下述表达式：

y' =

ql  1

mv 2 d  L + 2U

= tgL 1

∃ + 2 

同样的道理，如果只在偏转电极 X 和 X'上加电压，光斑就在水平方向发生偏移。加上随时间而变化的电压，亮斑的位置就在水平方向随时间而改变。加上特定的周期性变化的电压，可以使亮斑在水平方向这样运动： 亮斑从一侧匀速地移至另一侧，然后迅速返回原处，再匀速地移向另一侧， 如此反复继续。这个过程叫做扫描，所加电压叫做扫描电压。如果扫描电压变化很快。亮斑看起来成了一条水平的亮线。

在偏转电极 X 和X'上加扫描电压有什么作用？通常加在偏转电极Y 和Y'上的电压是所要研究的信号电压，如果信号电压是周期性的，且周期与扫描电压的周期相同，在荧光屏上就显示出一个图线，表示出信号电压随时间而变化的规律。例如信号电压是按正弦规律变化的，荧光屏上就显示出一条正弦曲线(图 1－67)。

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为什么加上扫描电压，就显示出如图 1－67 所示的正弦曲线？扫描电压的变化情况又是怎样的？这是很有意思的问题，有兴趣的同学不妨自己研讨一下，这对巩固所学知识以及提高运用知识的能力都会大有好处。

为什么会得到如图 1－67 所示的正弦曲线？让我们回忆一下力学中得出简谐振动图象的演示，并且把演示的图示重画在这里(图 1－68)。让单摆摆动，同时沿着跟摆动垂直的方向匀速拉动硬纸板，漏在硬纸板上的细砂就显示出单摆的振动图象。现在我们换一个角度来思考这个问题。设想有一位小小的观察者静止在硬纸板上观察同一现象，他将观察到装着细砂的漏斗一方面做简谐振动，同时沿着跟摆动垂直的方向做匀速运动，漏斗同时参与这两种运动，它的运动轨迹是一条正弦曲线(或余弦曲线)。现在我们就是这位小小的观察者，站在地面这个大“硬纸板”上观察示波管荧光屏上亮斑的运动。亮斑一方面沿着竖直方向做简谐振动，同时沿水平方向做匀速运动，它的轨迹是一条正弦曲线。

如果在偏转电极 X 和 X'上加以变化规律如图 1－69 所示的电压，亮斑在荧光屏上怎样运动？

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(二)练习使用示波器

示波器是一种常用的电子仪器，它的内部除了示波管这个核心部件， 还有比较复杂的电子线路，我们不作具体研究。利用示波器能够直接观察电信号随时间变化的情况。振动、温度、光等的变化，可以通过各种传感器转化成电压的变化，然后用示波器来研究。示波器已经成为检测和修理各种电子仪器以及科学研究的不可缺少的工具。

懂得了示波管的原理，你将会感到示波器并不那么神秘，你也可以用它进行各种实验了。