割圆术和圆周率

自然科学史研究所 何绍庚刘徽割圆术

在解决求圆周长、圆面积、球体积等类问题的时候，经常要用到圆周率π。圆周率π可以表示成无限不循环小数

3．1415926535⋯⋯。

近代数学已经证明，圆周率π是一个不能用有限次加减乘除和开各次方等代数运算求出来的数，就是所谓“超越数”。

中国在两汉之前，一般采用的圆周率是“周三径一”，也就是π=3。很明显，这个数值非常粗糙，用它进行计算会造成很大的误差。随着生产和科学的发展，“周三径一”就越来越不能满足精确计算的要求。因此， 人们开始探索比较精确的圆周率。例如，据么元一世纪初制造的律嘉量斛(一种圆柱形标准量器)推算，它所取的圆周率是 3.1547。公元二世纪初，

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东汉天文学家张衡在《灵宪》中取用 232 ≈3.1466，又在球体积公式中取用

10≈3.1622。三国时期吴人王蕃(228－266) 在浑仪论说中取142 ≈3.1556。

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上述这些圆周率近似值，比起古率“周三径一”，精确度有所提高，其中

圆周率值 10还是世界上最早的记录。但是这些数值大多是经验结果，还缺

乏坚实的理论基础。因此，研究计算圆周率的科学方法仍然是十分重要的工作。

魏晋之际的杰出数学家刘徽，在计算圆周率方面，作出了非常突出的贡献。他在为古代数学名著《九章算术》作注的时候，正确地指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值。用古法计算圆面积的结果，不是圆面积，而是圆内接正十二边形面积。经过深入研究，刘徽发现圆内接正多边形边数无限增加的时候，多边形周长无限逼近圆周长，从而创立割圆术，为计算圆周率和圆面积建立起相当严密的理论和完善的算法。

刘徽割圆术的主要内容和根据是：

第一，圆内接正六边形每边的长等于半径。

第二，根据勾股定理，从圆内接正 n 边形每边的长，可以求出圆内接正 2n 边形每边的长。

第三，从圆内接正 n 边形每边的长，可以直接求出圆内接正 2n 边形面积。如右图，四边形 OADB 的面积等于半径 OD 和正 n 边形边长 AB 乘积的一半。

第四，圆面积 S 满足不等式

S2n＜S＜S2n+(S2n－Sn)。

如右图，四边形 OADB 的面积和△OAB 的面积的差等于以 AD 和 DB 为弦的两个直角三角形面积，而 OADB 的面积再加上这样两个直角三角形的面积，就有一部分超出圆周了。

第五，刘徽指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。”(《九章算术》方田章圆田术刘徽注)这就是说，圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆周长， 它的面积的极限是圆面积。

刘徽根据割圆术从圆内接正六边形算起，边数逐渐加倍，相继算出正十二边形，正二十四边形，⋯⋯以至于正九十六边形每边的长，并且求出

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正一百九十二边形的面积S192 ＝3．14 625 。这相当于求得π = 3.141024。

他在实际计算中，采用了π = 3.14 = 157 。不仅这样，刘徽还继续求到圆

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内接正三千零七十二边形的面积，验证了前面的结果，并且得出更精确的圆周率值

π＝ 3927 ＝3.1416。

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刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重要的地位。他所得到的结果在当时世界上也是很先进的。刘徽的计算方法只用圆内接多边形面积，而无须外切形面积，这比古希腊数学家阿基米德(前 287－前 212)用圆内接和外切正多边形计算，在程序上要简便得多，可以收到事半功倍的效果。同时，为解决圆周率问题， 刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转化思想，这在一千五百年前的古代，也是非常难能可贵的。

祖冲之圆周率

在刘徽之后，南北朝时期杰出数学家祖冲之，把圆周率推算到更加精确的程度，取得了极其光辉的成就。据《隋书·律历志》记载，祖冲之确定了圆周率的不足近似值是 3.1415926，过剩近似值是 3.1415927，真值在这两个近似值之间，就是

3.1415926＜π＜3.1415927。

同时，祖冲之还确定了圆周率的两个分数形式的近似值：

约率π = 22 ≈3.14，密率π = 355 ≈3.1415929。

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祖冲之圆周率的不足近似值 3.1415926 和过剩近似值 3.1415927，准确到小数点后七位，这在当时世界上非常先进，直到一千年以后，十五世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西(？－1436)和十六世纪法国数学家韦达(1540

－1603)才打破了祖冲之的记录。

此外，在十进小数概念未充分发展以前，中国古代数学家和天文学家

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往往用分数表示常量的近似值。祖冲之提出的约率π = 7 ，前人已经用

到过，密率π = 355 ，是他所发现的。密率是分子分母都在1000以内的分数

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形式的圆周率最佳近似值。用这两个近似值计算，可以满足一定精度的要

求，并且非常简便。祖冲之提出的密率也是一千年后才由德国人奥托(约1550－1605)和荷兰人安托尼兹(1527－1607)重新得到。但是，在西方数

学史上，π = 355 经常称为“安托尼兹率”。

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我们知道，圆周率在生产实践中应用非常广泛，在科学不很发达的古代，计算圆周率是一件相当复杂和困难的工作。因此，圆周率的理论和计算在一定程度上反映了一个国家的数学水平。祖冲之算得小数点后七位准确的圆周率，正是标志着我国古代高度发展的数学水平，引起了人们的重视。自从我国古代灿烂的科学文化逐渐得到世界公认以后，一些人就建议

把π＝ 355 称为“祖率”，以纪念祖冲之的杰出贡献。

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祖冲之关于圆周率的研究工作和其他重大贡献记载在《缀术》一书中， 可惜这部内容丰富的数学专著后来失传了。因此，祖冲之推算圆周率的方法现在已经无法查考。但是，每一项重大科学成果都必定建立在前人成就的基础上。现在，一般都认为，祖冲之是继承刘徽割圆术的方法用来求出他的不足和过剩两个近似值的。通过现代计算验证，如果按照割圆术计算， 要得到 3.1415926 和 3.1415927，必须求出圆内接正一万二千二百八十八边形的边长和二万四千五百七十六边形的面积。这样求出的圆周率才能准确到小数点后七位。我国古代是用算筹计算的，因此，对九位数做上百次加、减、乘、除和开方运算，还要适当选择有效数字，保证准确的误差范围，这是一项非常艰巨复杂的计算工作，显然只有掌握纯熟的理论和技巧， 具备踏踏实实、一丝不苟的研究精神，才能取得这样杰出的成就。

割圆连比例和π的无穷级数表达式

清代初年，蒙古族科学家明安图(？－1765)著《割圆密率捷法》一书。在这部数学专著中，明安图完整地证明了正弦和反正弦的幂级数展开式和π的无穷级数表示式等九个公式，为用解析方法研究三角函数和圆周率开辟了新的途径。

在明安图所处的时代，我国科学技术已逐渐形成了落后的局面。为了提高数学水平，当时一些比较优秀的数学家，在经过分析鉴别和实际运用的基础上，吸收了陆续传入的一些西方数学知识，接受了如三角函数、对数等西方数学的重要成就。在明安图证明的九个公式中有正弦函数展开式和π的无穷级数表达式：

sinx = x－ 1 x³ + 1 x⁵－ ，

3! 5!

π 1² 1² ·3²

3 = 1 + 4·3! + 4² ·5! + 。

后一个公式是牛顿于 1676 年发现的，前一个公式是格雷果里(1638－1675)

于 1667 年发现的。但是这些公式在清初传入中国的时候，都没有介绍公式的证明方法。这种情况给当时的数学工作者掌握和运用这些知识带来了一定的困难。显然，不能只满足于盲目引用片断的公式，必须了解这些公式的确实可靠性以及它们能够成立的道理，这才是正确的态度。

明安图花费半生心血刻苦钻研，不仅完满解决了这个问题，而且还推

导出展开三角函数和反三角函数的新公式，从而有所前进。从《割圆密率捷法》还可以看出，明安图的证明方法是他所创造的“割圆连比例”方法， 它的具体过程大致可以归纳为下列几个步骤：

第一，设 AD=L，并把 分为 m 等分，每等分对应的弦长是 L1/m。第二，当 m=2 时，明安图继承和发展了中国古代传统数学的割圆术，

根据相似三角形对应边成比例，逐步推算(如图)，把 AD=L 表示为 L1/2 的一

个幂级数。

第三，当 m=5 时，明安图吸取和推广了外国有关的数学知识，把 L 表示为 L1/5 的一个多项式。

第四，利用第二、三两步分别把 L 表达为 L1/2、L1/5 的公式，然后相互代入，逐步推导，顺次求出把 L 表达为 L1/10、L1/100、L1/10000、⋯⋯关系式的系数。显然，如果把弧分成 10000 等分，这时的弦和弧的长度已经相当接近了。

当 m 趋向于无穷的时候，就可以取极限，从而求出弦 L 和 弧长的关系式。

明安图割圆连比例的中心思想是根据相似三角形对应边成比例的道理，得出一连串比例关系式，求出适当的折线长度，然后用折线逼近圆弧， 从折线和弦的关系导出弧和弦的关系。

明安图采用这种中西结合、融会贯通、用割圆连比例把它们统一起来的方法，成功地证明了前面提到的公式，从而把三角函数和圆周率的研究提高到一个新的水平，这是明安图的重大贡献。不仅这样，明安图对于直曲关系转化的认识也有了新的提高。在古代割圆术中，对于直曲关系转化的认识表现在用圆内接正多边形逼近圆周。而明安图指出：弓形中的弧是曲线，弦是直线。曲线和直线总有区别，不能等同。但是弧和弦的关系不是无法解决的。当我们把某段弧长等分得十分细，以至于无穷，就可以把弧和弦统一起来，而得出彼此相求的关系。这样，他的认识就超出了圆内接正多边形的范围，也超出了仅仅是求圆周长的范围，开始讨论任意长度弦和它所对弧之间的相互关系。这种对弦弧、直曲关系的辩证认识，为明安图解决展开三角函数问题提供了正确的思维途径。

项名达“椭圆求周术”

清代嘉庆、道光年间的数学家项名达(1789－1850)，在他所著的《象数一原》一书中，概括和推广了三角函数展开式方面的研究成果。同时， 他还得到了椭圆周长公式：

P＝2πα(1－ 1

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a² − b²

e² －

1² ·3

2² ·4 ²

e ⁴ － )，

式中e² =

a 2 ，a、b是椭圆的半长轴和半短轴，e是离心率，可以

表示椭圆的扁圆程度。他又得到圆周率倒数公式：

1 1 1 1² ·3

π ＝ 2 (1－ 22 － 22 ·42 － )。

项名达求椭圆周长的方法，因为他病重，未能完整地写下来。后来， 项名达的朋友按照他的思路为“椭圆求周术”补作了《图解》。根据项名达提出的一些原则和《图解》，我们可以看到，他推导椭圆周长公式采用了折线无限增多以逼近椭圆圆周的方法。项名达指出：在等分椭圆的大圆圆周的时候，虽然相应椭圆圆周上的线段大小不等，有所谓“加减差”， 但是，对于圆弧析分越多，差数就越小，椭弦和椭弧逐渐相合。当析分到无限多的时候，椭弦和就是椭圆弧长。由此可见，我国古代传统的割圆术， 在这里又超越了计算圆弧的范围，发展到应用于椭圆的情形，从而使对直曲关系转化的认识进一步提高到一个新水平。项名达关于椭圆求周的计算程序完全符合于椭圆积分的法则。

从明安图和项名达的成就，我们也可以看到，这一时期的中国数学家已经具备了某些微积分思想的萌芽。

虽然由于各种原因，我国未能按照具有自己特色的道路进展到这一阶段，但是，他们的杰出贡献为顺利接受笛卡儿(1596－1650)、牛顿、莱布尼兹(1646－1716)等人创立的解析几何、微积分等高等数学知识，促使从常量数学到变量数学的发展，奠定了重要的思想基础。