=

1

(p + 2)!

n(n + 1)(n + 2) (n + p)[(p + 1)n + 1]

(p=1，2，3，4，5。) (2)

在第一组公式中，从朱世杰所用的“落一形垛”、“更落一形垛”的名称可以知道，他已经认识到：前式的 r 项的和是后式的第 r 项，就是前式中到第 r 层为止的垛积降落一层是后式垛积的第 r 层。另外，从朱世杰在《四元玉鉴》中所用的“古法七乘方图”(如右图)可以看出，第一组的

级数恰好是从左边开始的第 p+1 条斜线的数字的延伸，第 p 条斜线上最初n 个数字的和恰好等于第 p+1 条斜线上的第 n 个数。因此我们认为，朱世杰的第一组级数很可能就是直接从这个图得到的。他虽然只算到 p=6 的情形，但是很明显，p 是任何正整数的时候都成立。

至于第二组级数怎样得出，朱世杰同样没有说明，很可能是通过推广的“古法七乘方图”求得的。

朱世杰在高阶等差级数方面的工作，不论在计算技术方面，还是在理论概括方面，水平都是很高的。

中国古代的无穷小分割思想

自然科学史研究所 郭书春

谈到古代数学的无穷小分割思想，人们便把目光投向古希腊的穷竭法。实际上，古希腊的数学家并没有使用无穷小分割和极限思想，他们的分割总是有一个剩余，最后用双重归谬法证明已知的命题。在微积分孕育时期的面积元素法产生之前，真正在数学证明中使用无穷小分割和极限思想的是中国数学家，首先是刘徽，后来是祖冲之父子。

无穷小分割思想的萌芽

像古希腊思想家提出了物质无限可分的若干命题一样，中国在先秦也产生了无穷小分割的若干命题。如《庄子·天下篇》引用名家的命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”墨家著作《墨子·经下》：“非半弗■ 则不动，说在端。”《经说下》解释道：“非，■半，进前取也，前则中无为半，犹端也。前后取，则端中也。■必半，毋与非半，不可■也。” 显然，墨家和名家的命题是不同的。名家认为无限分割的过程永远不会完结，类似于古希腊的潜无限；墨家认为无限分割的结果终究会达到一个不可再割的端，是一种实无限思想。《庄子·秋水篇》借河神和北海神的对话也阐述了无穷小分割思想。“河伯曰：‘世之议者皆曰：“至精无形， 至大不可围。”是信情乎？’北海若曰：‘夫自细视大者不尽，自大视细者不明。夫精，小之微也；垺，大之殷也；故异便。此势之有也。夫精粗者，期于有形者也；无形者，数之所不能分也；不可围者，数之所不能穷也。’”这里说的至精无形、无形不能分的思想，和墨家不可■的思想接近。

汉司马迁《史记·酷吏列传》以“破觚而为圜”比喻汉废除秦的严刑苛法。破觚为圆含有朴素的极限思想，大约是司马迁从工匠加工圆形器物化方为圆、化直为曲的实践中总结出来的。这些命题对后来数学中的无穷小分割思想有深刻影响。

刘徽的割圆术

汉代《九章算术》提出了正确的圆面积公式：“术曰：半周半径相乘

得积步。”设圆周是L，半径是r，那么圆面积S = 1 Lr。刘徽之前人们以

2

圆内接正 6 边形的周长代替圆周长 L，以圆内接正 12 边形面积代替圆面积S，把正 12 边形拼补成一个以正 6 边形周长的一半作为长、圆半径 r 作为宽的长方形来推证上述公式的。刘徽说这“合径率一而外周率三也”，极不严格。为了真正证明圆面积公式，他创造了著名的割圆术。

刘徽从圆内接正 6 边形开始割圆，依次得到圆内接正 6×2、6×22、⋯⋯ 边形。显然，圆内接正 6×2n 边形的面积 Sn＜S。然而，随着分割越来越细， S－Sn 越来越小，“割之又割，以至于不可割，则与圆周

合体而无所失矣。”就是说limS = S。另一方面，圆内接正6×2ⁿ 边形的

n→∞ n

的每边和圆周之间有一段距离，称作“余径”，把每边长乘余径，总和是2(Sn+1－Sn)，加到 Sn 上，那么 Sn+2(Sn+1－Sn)＞S。然而当 n 无限大时，6

×2n 边形和圆周合体，表径等于零，所谓“表无余径，则幂不外出矣。”

就是说lim[Sn + 2(Sn +1 − sn )] = S。这就证明了它的上界序列和下界序列的

极限都是圆面积。最后，刘徽把和圆合体的正多边形分割成无穷多个以圆心作为顶点、以每边的长作为底的小等腰三角形，由于以圆的半径乘每边的长是每个小三角形面积的二倍，求这些小三角形面积的总和，即圆半径

乘圆周长，就是圆面积的二倍：Lr = 2S，所以S = 1 Lr。所谓“以一面乘

2

半径，觚而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂，”完成了证明。显然，这里含有明显的极限过程和无穷小分割并求它的总和的思想，

和面积元素法十分接近。

刘徽批评了以往学者沿袭周三径一的错误，认为上述公式中的“周径， 谓至然之数，非周三径一之率也”。为了正确使用这一公式，必须求出这个“至然之数”，即周径相比之率，就是现在所谓圆周率。刘徽从直径 2 尺的圆的内接正 6 边形开始割圆，依次求出正 6×2、6×22、6×23、6×24 边形的边长和 6×25 边形的面积，取圆内接正 6×25 边形面积 S5

的整数部分314平方寸作为圆面积S的近似值，代入圆面积公式 1 ，

S = 2 Lr

反求出圆周长近似值是 628 分，和直径 2 尺相约，得周率 157，径率 50， 相当于π=3.14。刘徽用这组值把《九章算术》的另外两个圆面积公式 S=

3 d ²，S = 1 l ²修正成S = 157 d ²，S = 25

l ²。刘徽认为这一周率还是微

4 12

4

200

314

1

少，又求出314 25 平方寸作为圆面积近似值，代入S = 2 Lr，求出周长是

628 8

25

分，得出周率3927，径率1250，相当于π = 3.1416。

刘徽原理

《九章算术》给出了阳马(直角四棱锥)的体积公式

1

Vy = 3 abk (1)

和鳖臑(四面都是勾股形的四面体)的体积公式

1

Vb = 6 abh，

(2)

其中 a、b、h 分别是长、宽、高。在刘徽之前，对 a=b=h 的特殊情形， 由于一个正方体可以分解成为三个全等的阳马，或六个三三全等两两对称的鳖臑，人们容易用棋验法加以证明。但是，当 a≠b≠h 时，“鳖臑殊形”， “阳马异体”，用棋验法“则难为之矣”。为了证明(1)、(2)式，必须另辟蹊径。刘徽首先提出了一个重要原理：把一个堑堵(把一个长方体沿相对两棱斜剖，便得两堑堵)分解为一个阳马和一个鳖臑，“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。”即在一个堑堵中，恒有

Vy ：Vb = 2：1 。

(3)

吴文俊氏把它称作“刘徽原理”(见本书第 92 页)。显然，只要证明了

刘徽原理，由于堑堵体积是 1 abh，那么(1)、(2)式的正确性是不言而喻的。

2

刘徽创造了如下的方法证明(3)式：

如图，用三个互相垂直的平面分别平分堑堵的长、宽、高，那么：其中的阳马被分割成一个小长方体Ⅰ，两个小堑堵Ⅱ、Ⅲ，两个小阳马Ⅳ、Ⅴ；鳖臑被分割成两个小堑堵Ⅱ′、Ⅲ′，两个小鳖臑Ⅳ′、Ⅴ′。显然， 小堑堵Ⅱ和Ⅱ′、Ⅲ和Ⅲ′分别可以拼成和Ⅰ全等的小长方体；小阳马Ⅳ 和小鳖臑Ⅳ′、小阳马Ⅴ和小鳖臑Ⅴ′分别是两个小堑堵，又可以拼成第四个全等的小长方体。在小长方体Ⅰ、Ⅱ－Ⅱ′、Ⅲ－Ⅲ′中，属于阳马的和属于鳖臑的体积的比是 2∶1，所谓“别种而方者率居三”，即在堑

3

堵的 4 中证明了(3)式。而在第四个小长方体Ⅳ－Ⅳ′－Ⅴ－Ⅴ′中(3)式是

1

否成立还不知道，即在堑堵的 4 中(3)式还有待于证明。然而其中两小堑堵

的结构和原堑堵完全相似，所谓“通其体而方者率居一”。显然，上述分

3

割过程完全可以继续在剩余的两个小堑堵中施行，又可以证明在其中 4 中

1 3

(3)式成立，在其中 4 中仍不知道。换句话说，证明了(3)式在原堑堵中 4 +

1 3 1 1

4 × 4 中成立，而在 4 × 4 中还不知道。这个过程可以无限继续下去，第n

次分割只剩原堑堵的

1 1

_n 中(3)式没有被证明，显然 lim n

= 0，所谓“半之

4 n→∞ 4

弥少，其余弥细。至细曰微，微则无形，由是言之，安取余哉？”就是在整个堑堵由证明了(3)式。

刘徽之前，人们所使用的棋验法，无需知道阳马、鳖臑的体积公式， 并且无法证明各种多面体的一般体积公式。刘徽却在首先解决了长方体、堑堵、阳马、鳖臑的体积公式之后，把其他多面体分割成有限多个长方体、堑堵、阳马、鳖臑，求它们的体积的和来解决这些多面体的体积问题。刘徽说：“不有鳖臑，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也。”这种把多面体体积理论建立在阳马、鳖臑基础上的思想，也就是建立在无穷小分割基础上的思想，和现代数学的体积理论惊人地一致。刘徽在公元三世纪就开始考虑十九世纪困扰着高斯、希耳伯特等数学大师的课题：四面体体积的解决不借助于无穷小分割是不可能的。刘徽的贡献受到 1985 年法国布尔巴基学派举行的希耳伯特第三问题学术讨论会的颂扬，是当之无愧的。

祖暅原理和球体积

唐李淳风等注释《九章算术》时所引祖暅开立圆术提出了一条重要原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。”就是说：同高的两立

体如果等高处的截面积恒相等，那么它们的体积一定相等。现在称它作“祖暅原理”，它在西方称卡瓦列里原理(公元 1635 年)。

更一般地，如果同高的两立体等高处的截面积恒成定比，那么它们的体积必成定比。这一原理是中国古代解决体积问题的另一重要理论，实际上是另一种形式的无穷小分割。

有证据表明，早在《九章算术》时代，人们就通过比较圆锥和方锥、圆台和方台的底面积，由后者推得前者的体积公式，水平大体和欧几里得

《几何原本》的有关论述相仿佛。刘徽的认识却进了一大步。他认识到， 不仅要比较底面积，而且要比较任意等高处的截面积。这在羡除术注中表述得特别清楚。他为了解决羡除(一种楔形体)的体积，需要从长方锥分割出一种特殊的鳖臑(仍是四面体)并求它的体积，于是刘徽提出了“上连无成不方，故方锥与阳马同实”的原理。“成”就是“层”，这是说，同底等高的方锥和阳马每一层都是相等的方形，所以它们的体积相等。联系到刘徽割圆时会达到不可割的境地的思想，我们认为刘徽是把立体看成由不可再分的薄片叠合而成的，后来卡瓦列里的不可分量和这类似。正是基于这一认识，刘徽明确提出了圆锥和外切方锥、圆台和外切方台的体积的比是π∶4，并指出了《九章算术》所蕴涵的球体积公式的错误，错误的原因在于误以为球和它的外切圆柱的体积的比是π∶4。他用球的两个外切圆柱体正交，它们的公共部分称做“牟合方盖”，指出球和外切牟合方盖的体积的比才是π∶4。显然，只要求出牟合方盖的体积，那么球体积便迎刃而解。刘徽功亏一篑，未能求出牟合方盖的体积，但是他坦诚地记下了自己的困惑，表示“敢不阙疑，以俟能言者”，表现了一位伟大学者实事求是、寄希望于后学的坦荡胸怀。

二百年后的祖暅深入研究了球的外切正方体中用两个正交圆柱切割出牟合方盖后的剩余部分。他考虑这剩余部分的八分之一，在正方体内而在牟合方盖外的部分被切割成了三块，叫作外三棋。他利用勾股定理等知识， 求出外三棋的每一层的截面积的和都等于一个倒置的长、宽、高都等于球半径的阳马的等高处的截面积。由祖暅原理，外三棋的体积等于这倒置阳

马的体积，就是 1 r ³ (r是球半径)，因而牟合方盖的八分之一的体积是 2 r ³，

3 3

整个牟合方盖的体积是 2 d³ (d是球的直径)，于是球体积

3

V = π × 2 d ³ = π d³，

4 3 6

如果取π = 3，就是 1 d ³，圆满完成了刘徽的未竟的事业。值得注意的是，

2

外三棋的每一块截面积的变化都不是线性的，然而它们同一截面的截面积的和的变化却是线性的。祖暅在应用后来以他的名字命名的原理上比刘徽更加灵活，认识也更加深刻。

李善兰的尖锥求积术

刘徽、祖冲之父子之后一千多年间，我国的无穷小分割思想没有什么

新的进展。直到清代中叶以后，明安图在研究三角函数幂级数展开式时提出“析之至于无穷”的思想，项名达、戴煦(1805－1860)的椭圆求周的计算方法符合椭圆积分法的原则，并重新涉及这个领域。而最值得称道的是李善兰(1811－1882)于清道光二十五年(公元 1845 年)发表的《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》这三种关于三角函数、对数函数和指数函数的幂级数展开式的研究成果。其中的尖锥求积术提出了几个相当于定积分公式的命题，如“当知诸尖锥有积叠之理”，表示当 0≤x≤h 时， xn 的平面积叠成一尖锥体，而由平面积 axn 积叠起来的尖锥体高 h，底面积ah2，

ah ² × h

它的体积是 ，相当于

ax ²dx =

ah n+1

。又指出，同高的许多尖锥

n + 1 0 n + 1

可以合并成为一个尖锥，相当于定积分

∫h a xdx + ∫h a x²dx + + ∫h a xⁿdx = ∫h (a x + a x² + a xⁿ )dx。

0 1 0 2 0 n 0 1 2 n

李善兰用尖锥求积术解决了许多问题。以圆面积的计算为例。如右图， 考虑直径是 2 的圆和它的外切正方形的四分之一，分别是 OAQC 和 OABC。方内圆外的部分是一平面尖锥 ABCQ，它由 ABD、ADE、AEF、AFG、

1 1 1

等无限个平面尖锥组成。诸尖锥的底BD = 2 BC = 2 ，DE = 4 DC =

1 1 3 1 3·5

2·4 ，EF = 6 EC = 2·4·6 ，FG = 8 FC = 2·4·6·8 ， 在AB上任

取一点P，作PR‖BC，交圆于Q。设x = AP，那么

PQ = PR－QR = 1－

1 2 1

x⁴ + 3

+ x ⁶ 。

= 2 x + 2·4

2·4·6

令 x=1，上列级数的各项就是诸尖锥的底 BD、DE、EF、⋯⋯。依据尖锥求

积术，方内圆外的部分的面积是

1 1

SABCD = 2 · 3 +

从而圆面积是

1

2·4

• 1 +

5

1 1

2·4·6 · 7 + ，

1 1

π = 4－4( 2 · 3

1

+ 2·4

1

• 5 +

1

2·4·6

1

• 7 + )。

李善兰的尖锥求积术是在他接触西方微积分学思想之前发明的，表明中国数学家完全有能力独立地打开微积分学的大门。由于种种原因，中国没有经历这个过程，而尖锥求积术为李善兰不久以后和伟烈亚力合译西方数学著作，把微积分学引入我国，作了准备。