警惕似是而非的证明和结论

人们在生产和日常生活中，对事物要有明辨是非，识别真伪，分清哪些是似是而非，哪些又是似非而是的能力。我们应透过现象认识本质。在我国古代《吕氏春秋》里的“疑似篇”中就特别强调“疑似之迹，不可不察”。这是告诫人们，要用严格的逻辑推理的方法去观察事物的本质。这样才有利于认识世界，正确处理生产和日常生活问题。

同样，在数学中似是而非的命题或似是而非的证明也是不少的。我们研究或解决这些命题时，若稍不慎，就会被外来的假象所迷惑，甚至一些历史上的著名数学家也会犯这样错误。所以对这类似曾相识又不了解的似是而非的命题和证明方法应予高度警惕。在论证、推理时牢牢记住言必有据。只有这样，才能避免错误。为了加深印象，下面举一实例。

例1 若水结冰时体积增加

个结论对吗？

1 。则当冰化为水时，其体积就要减少

11

1 。这

11

回答是不对的。又为什么呢？

水结成冰，体积增加

1 ，这就是说，冰的体积比水的体积增加

11

1 ，它是

11

以水的体积作为标准来比的；冰化为水，体积减少

1 ，它是以冰的体积作为

11

标准来比的。由于比的标准不相同，所以我们就不能

说：“由于冰的体积比水增加

1 ，则水的体积就比冰减少

11

1 。”

11

为了具体说明，不妨假定水的体积为 11cm3，则结冰后，其体积增加水

的 1 ，即为

11

11cm³＋11cm³×

1 ＝11cm³×（1＋ 1

）＝12cm³。

11 11

这就是说，11cm3 的水结冰后成为 12cm3 的冰。

现在假定来一个还原。即将 12CM3 的冰化它为水。假定要减少冰的体

1 ₃

积 x ，即要减少12cm

× 1 ，

X

所以可得，12cm ³－12cm³ 1 11cm³。

× ＝

x

解之得， 1 = 1

x 12

∴x＝12

这就是说，若水结成冰，体积增加了 1

11

，则冰化成水，体积就应减少 1 ，

12

（即减少冰的体积的 1

12

）而不是

1 ，因而题目中的结论是错误的。

11

例 2 17 世纪法国数学家费尔马在研究质数（又称素数）的时候，曾认为“22n”＋1”形式的数，当 n＝0，1，2⋯⋯，皆为质数。

他得出这个结论的理由是：

因为当 n＝0，1，2，3，4 时，则 22n＋1 的值分别为 3，5，17，257，65537， 而后者诸数都是质数。因而便认为 22n＋1 形式的数皆为质数。

费尔马的这个结论曾经迷惑了不少人，直到 18 世纪瑞士大数学家尤拉才发现费尔马提出的 22n＋1 当 n＝5 时，其值为 4，294，967，297＝641×6， 700，47 并非质数。才把这个结论推翻。

很明显，费尔马是世界上著名的数学家。但当他偶一疏忽时也会犯上述错误的。其原因是被少数的、个别的现象所迷惑，以不完全归纳法代替了完全归纳法。把个别的、部分的现象看成了全体事物的本质。

例 3 有一梯形 ABCD，引长上底 BC 至 F，使 CF＝AD＝b，引长 DA 至 E， 使 AE＝BC＝a，连结EF、AC、BD 和 DF，试看下面的错误推理导出荒谬的结论。

设 AM＝x，MN＝y，NC＝Z，则

△BCN∽△NAN

∴ a =

b

z

x + y ．

又∵△FAM∽△FCM，∴ a =

b

x y + z

于是得到 a

b

= z

x + y

- x ，

y + z

∴ a =

b

z =

x + y

x y + z

= z − x

( x + y**)** − **(**y + z**)**

= z − x = −1 x − z

即 a = −1

b

∴a＋b＝0．

这个结论就是说，任何一个梯形的上底加下底其和为零，这不是一个荒谬的结论吗？与事实不符的结论一定是错误的。但它究竟错在哪里呢？

我们若不认真对待上面推理中的第一步骤，是很难发现它的错误所在， 似是而非会迷惑我们，即是荒谬的结论，错误是必然存在的。列宁曾经指出过：“逻辑形式和逻辑规律不是空洞的外壳，而是客观世界的反映，”如果不符合实际情况不是推理的前提错了，就是推理与计算有错误。

我们认真检查上面每一步的推理，就会发现，∵△BNC∽△BDF（∵AD⊥ CF，∴ACFD 为平行四边形，∵AC∥DF

∴ BC

BF

= a

a + b

= NC

DF

= z 。

DF

a

即a + b

= z 。

DF

同样可得△EAM∽△EDF。

∴ EA =

ED

a

a + b

= AM

DF

= x 。

DF

a

即a + b

= x 。

DF

于是得到 z

DF

= x 。

DF

∴z＝X，或即 X－z＝0。

至此，再来看前面推理中最末了一步，

即 a = z − x = −1 b x − z

显然，在这个式子中，我们用（X-Z）去除分子和分母，已知 X－Z＝0， 我们用零去除分子和分母这就是错误所在的地方。事实上，在前面的每一步推理过程中也只有这一步值得研究和怀疑。（其余各步均有根据）于是才考虑到 X 与 Z 的大小关系，才考虑到△BNC∽△BDF，△ENM∽△EDF，才考虑到由此导出的比例关系。最终得到了可靠的结论，即 X－Z＝0。荒谬结论是由最后一步推理上的错误而引起的。

例 4 设 O 为圆心，AB 为 O 圆的一直径，过 B 点任作一弦 BC，并取其中点 E。

连 AE 并延长交 O 圆周于 D。

连结CD则∠A＝∠C，（都是以 1 ⌒ 所度）。∠B＝∠D。（都以 1 ⌒

BD AC

2 2

所度）又∵在△ABE 及△CDE 中，BE＝CE。（已知）

∴△ABE≌△CDE．（边、角、角）

∴CD＝AB．（全等三角形的对应边相等）但 AB 是 O 圆的直径，而 CD 是不过圆心的一条弦。两者不能相等。

这是一个初学几何时易犯的错误。

这个题错在“△ABE≌△CDE（边、角、角）”这一步。

∵∠A 是△ABE 中 EB 边所对的角，而在△CDE 中其中一边与 EB 相等的边是 CE，CE 边所对的角是∠D，但今∠A 不一定与∠D 相等。（命题中并没有给

定∠A＝∠D）但在前面证明中，∠A＝∠C，∠B＝∠D 好像是两个三角形的对应角。其实不是“边、角、角、”的全等关系。这就是说，在△ABE 及△CDE 中根本不存在“边、角、角”的全等条件，而今把它当作似是而非的条件了。以错误代替了正确，其推理所得的结论当然是荒谬的了。所以这个问题是错在把不对应的条件误当作对应的全等条件了。

在逻辑推理中，若前提有错误或根本不存在，即使每一步的推理无误， 其结论也会出现错误的。我们在命题或证题时，若稍一疏忽，同样会犯上似是而非的错误。如

例 5 求作一个直角三角形，已知斜边长为 C，并使其斜边上的高与斜边的和等于两直角边之和。

这是一个作图题，可以先作出一个草图进行分析。

设已作得草图。并设直角三角形 ABC 的斜边 AB＝C，斜边上的高 CD＝hc， 两条直角边 BC＝a，AC＝b，则要求作的直角三角形应具备下列条件即

c＋hc＝A＋b

但∠ACB＝90°，∴hc·c＝a·b 又 a2＋b2＝C2

今将 c＋hc＝a＋b 的两边各自平方，

得 c2＋2c·hc＋hc2＝a2＋2ab＋b2 以 chc＝ab，c2＝a2＋b2 代入，

得 a2＋b2＋2ab＋hc2＝a2＋b2＋2ab

∴hc2＝0，即 hc＝0

这就是说，这个要作的直角三角形其斜边上的高的长度是零。显然，这个直角三角形根本不存在。在客观上不存在的图形当然是无法作出的。所设的草图是不存在的。

这个例子说明推理虽然没有错误，但命题中的前提根本不存在，因此， 要作出这个直角三角形的要求是不可能的。因而是错误的。这就是一种似是而非的命题。

在命题时，有时由于运用了一些脱离实际的数据代替了现实，也会造成似是而非结果的错误。如

例 6 一个圆柱形粮囤，装满玉米后，上边是圆锥形，量得圆柱的底面直径是 1．8 米。高 2 米，圆锥的高是 0．7 米，求这囤玉米的重量。（玉米的容重是 745 公斤／米 3）根据已给的数据，可以算得玉米的静止角θ（即圆锥母线与圆锥底面所成的角）

tgθ =

0.7

1 ×1.8

2

= 0.7778。

查表得θ＝37°52′但事实上，客观存在的玉米的静止角应为 28．5°～ 34．5°这就是说，将玉米堆成圆锥形时，不可能保持 37°52′这么大的静止角，它必然要继续向底部下滑，直至使静止角在 28．5°～34．5°的范围

内，玉米才停止下滑静止下来。

这就是说，根据题设的数据是不能堆成这样的玉米堆的，从表面看来， 这个题目是没有什么错误，但一经计算就会发现这种脱离实际的现象，根据题设要求的玉米堆根本是不存在的，所以说，这种命题是犯了一种脱离实际的错误，也是一种似是而非的命题，我们讲课或解题时应特别注意。

最后，我们提供三个诡辩题，请读者思考。

1. 图 5 为一正方形，每边长为 8，其面积为 82＝64。但依图中的划线剪开，并按右图拼拢，得到一个三角形。

1但三角形的面积为 ×（8＋5）×（5＋5）＝65。结果变成了64＝65。

2

这显然是不可能的，是一个荒谬的结论。它的似而非的剪拼究竟毛病在什么地方？

1. 设有一点 F 在已知∠ABC 内，由 F 点向 BC、AB 分别作垂线 FE、FD。过 F、D、E 作一圆（只能作一个）交 BC 于 H，交 AB 于 K，连结 FH 和 Fk、并分别取 FH 和 FK 的中点 O2、O1，则 O2、O1；均为该圆圆心。这不是一个圆有

两个圆心了吗？

显然这个结论肯定是错误的，试问它的毛病在什么地方？

1. 设 A、B 为直线上的两点，以 AB 为一边作△ABC，使∠A 为锐角， 又作 CD⊥AB，作 CE，使∠ACE＝∠B。现在作如下的推理：∵∠A＝∠A。于是可得△ABC∽△ACE。（两个三角形中有两组

对应角相等，则两个三角形相似）∴

△ABC =

△ACE

BC²

CE²

。（相似三角形面积之比

又 △ABC = AB 。（等高三角形面积之比等于底之比）

△ACE AE

BC² AB

∴ CE² = AE

（等于同比的二比相等）

BC²

∴

AB

= CE²

AE

但 BC2＝AC2＋AB2－2AB·AD，（谢影定理或勾股定理推广）同样，CE2＝AC2

＋AE2－2AE·AD

AC² + AB² − 2AB·AD

∴

AB

AC² + AE² − 2AE·AD AE

AC²

即 AB

AC²

即 AB

2

AB − 2AD = + AE − 2AD。

AE

2

AE = − AB， AE

AC² − AB·AE

∴ AB =

AC² − AB·AE

AE 。

于是可得 1 = 1 。（以AC² －AB·AE除两边）

AB AE

即得 AB＝AE 但 AE 是线段 AB 的一部分，而今 AB＝AE，不是全量等于部分了吗？这显然与公理“全量大于部分”有矛盾。但它的错误在哪里呢？

请读者把这种似是而非的“非”清查出来！

总之，在数学中，在其他科学中确实存在着不少似是而非的东西。我们必须认真对待，看看前提是否有毛病，看看在推理过程中是否句句有理。对前提和推理中的每一步进行严格的审查，只有这样才能区别真伪。其实在现实世界中，确有许多似是而非的现象不断向我们袭来。为了维护真理，发现真理，我们必须高度警惕，认真对待予以区别。

下面附上 7 道易犯错误的题目。请读者思考。

1. 设 X、y 为正变数，在 3x2＋2y2＝6X 的条件下，问 X 取何值时，x2＋ y2 达到最大值，并求出此最大值。

错误的解法： 设 x2＋y2＝s。

则 2s＝2x2＋2y2＝2x2＋（6x－3x2）

＝6x－x2

＝－（x2－6x）

＝－［（x2－6x＋9）－9］

＝－［（x－3）2－9］

＝9－（x－3）2

当 X＝3 时，2S 有最大值。亦即 s 有最大值，所以当 X＝3 时，x2＋y2 达到最大值。

它的最大值 1 [9 - 0] = 4 1 。

2 2

1. k 为何值时，二次方程 kx2－2（k－4）x＋（k＋8）＝0 有两个不相等的实数根？

错误的解法：

由判别式△≥0，可得［2（k－4）］2－4k（k＋8）≥0， 即得 k≤1，

3 解方程｜x｜＋x＝1＋3i

错误的解法；

移项、并两边予以平方，得x2＝［（1＋3i）－｜x｜］2。

即得 x2＝（1＋3i）2－2（1＋3i）x＋x2 即 2（1＋3i）X＝（1＋3i）2

∴x =

(1 + 3i) ²

2(1 + 3i)

= 1 +

2

1. i*。

4已知x＋y＝1，求

错误的解法：

∵x + y = 1

∴ 2x + 1 +

• 2y + 1的最大值。

= (2x + 1)·1 +

≤ (2x + 1) + 1 + (2y + 1) + 1 = x + y + 2 = 1 + 2 = 3。

2 2

即 2x + 1 + 2y + 1≤3。

1. 设 y + z = z + x = x + y = x + y = k 求 k

x y z z

错误的解法：

应用等比定理，得

x + z = z + x = (y + z) + (z + x) + (x + y)_ k，

x y x + y + z

即得 2（x + y + z）

x + y + z

∴k＝2，

= k。

1. 化简3

7 − 2 2 ·⁶ 15 + 4 14

错误的解法：

3 ( 7 − 2 2 ·⁶ 15 + 4 14 。

= ⁶ （

− 2 2 2 ·⁶ 15 + 4 14

= ⁶ 7 − 4 14 + 8·⁶ 15 + 4 14

= ⁶ 15 − 4 14 ·⁶ 15 + 4 14

= =

1. 证明下列命题：

= = 1

三角形任意两条中线之和大于第三条中线。错误的证法：

设在△ABC 中，AD、BE、CF 分别是△ABC 的 BC、AC、AB 边上的中线。今分别以 A、D 为圆心，以 CF、BE 为半径作弧，此两派交于 G 点，则 AG＝CF， DG＝BE。

因为△GAD 的任意两边之和大于第三边，而△GAD 的三边分别是△ABC 的

三条中线。所以三角形的任意两条中线之和必大于第三条中线，证毕。对这里 7 道题目的提示及注意如下：

1. 对错误解法原因简析：

x＝3 是不能取得的。因为由约束条件得2y2＝3（2x－x2）≥0。

故 x 的取值范围应为 0≤x≤2。

很明显，本题的“似是而非”源出于忽视取值范围的变化。

1. 注意在 k≤1 中，应排除 k＝0。

2. 注意当 x 是实数时才有｜x｜＝x2，而当 x 为复数时则并不是总有｜

   x｜2＝x2。

可设x＝a＋bi，则｜x｜＝

代人｜x｜＋x＝1＋3i 式内

得 + a + bi = 1 + 3i

解之可得 a＝-4，b＝3， 代入得 x＝－4＋3i。

1. 在应用

ab≤ a + b 公式时，应限定a、b均为非负数。

2

该题中并不能由 X＋y＝1 而肯定 2x＋1，2x＋1 为非负数。

1. 注意由 2(x + y + z) = k推至K = 2时。必顺x + y + z

x+y+z≠0

显然，若 x＋y＋z＝0 时，代入题设中可得 k=－1，所以说，对解应作全面讨论。

1. 注意“ − 2 2”是一个负数。

我们知道，根式的基本性质：

np a mp

= ⁿ a^m 。（a≥0），在条件a≥0时才成立。

1. 本题的“似是而非”是由于犯了几何中的循环论证之故，看看好像已经证明了，其实仍旧没有证明。

事实上，当分别以 A、D 为圆心，以 CF、BE 为半径作弧时，怎样知道它们一定相交于 G 点呢？若默认了交于 G 点，实质上是承认了 AD、BE、CF 中两条线段的和大于第三线段。这就是利用了要证结论的自身作为证明的理由， 所以其错误是属于循环论证的。