命题简化

上一节我们看到，许多表示复合命题的逻辑式，是由基本命题及其否定之积相加的形式表现出来。这样的式子称为逻辑和的标准形式。例如：

R＝A＋BC

S＝AB＋BC＋AC T＝ABC＋ABC＋ABC＋ABC

最后一个逻辑式，它的每一项积包含有全部的基本命题或其否定。这样

的逻辑和标准形式称为“完全的”。

很明显，一个非标准形式的逻辑式，可以通过展开化为标准形式。而一个标准形式的逻辑式，又可以进一步化为完全标准形式。这只需反复应用 X

＋X＝1 这一公式即可。例如： R＝A＋BC

＝A（B＋B）（C＋C）＋（A＋A）BC

＝ABC＋ABC＋ABC＋ABC＋ABC S＝AB十BC＋AC

＝AB（C＋C）＋（A＋A）BC＋A（B＋ B）C

＝ABC＋ABC＋ABC＋ABC＋A BC

读者完全可以想象得到，一个复合命题的“完全式”的某个项，便可表示为下图立方体中的某个顶点。标出这些顶点，便得到相应复合命题的几何

模型。

例如，对于复合命题

X＝ABC＋ABC＋ABC Y＝ABC＋ABC＋ABC＋ABC

我们可以分别得到如下的几何模型。

可能读者已经发现，图中的某些棱已被画为粗线。这是因为当一条棱的两端同时出现在逻辑和的表示式中

时，该逻辑式一定可以简化。例如上右图的点（ABC）与（ABC）由于

ABC＋ABC＝（A＋A）BC＝BC

这意味着它可简化为连接两点的棱 BC。，由图知，X、Y 可简化为：

X＝BC＋A BC

Y＝AB＋BC＋AC

同理，若立体模型中某个面的四个顶点同时出现在逻辑和的表示式中， 那么这部分的表示式便可简化为代表这个面的一个字母。例如，前面提到的

T＝ABC＋ABC＋A BC＋A BC

右端四项，分别表示上图 A 面上的四个顶点，于是 T 可简化为 A。事实

上，直接计算有：

T＝AB（C＋C）＋A B（C＋C）

＝AB＋A B＝A（B＋B）

＝A

需要说明的是：在作命题简化的时候，我们只需从逻辑和的标准式开始就可以了。因为标准式一般比“完全式”来得简单。引进“完全式”只是为了讲解上的方便。实践上对于已经简化了的东西，是无需回到更为复杂的模式上去的。这好比马拉松赛跑，此时你已经跑了 3 公里，如果你想向观众表明你有能力跑完全程，那么你完全不必回到起点重新跑起，接下跑到终点就是了！

为了让读者有所仿效，下面我们举一个用立方体简化复合命题的完整的例。已知：

U＝AB＋BC＋A BC＋A BC

画出命题 U 的几何模型容易看出，图中有四个顶点位于 A 面上，从而命题 U 可以简化为：

U＝A＋BC

可能有的读者会问：前面讲的都是三个基本命题的情形，对于四个或更多基本命题的情形又该怎么办呢？要回答这个问题我们还需要许多其他的知识，例如需要了解四维立方体或多维立方体的概念等等，在这里就不讲了。