火柴游戏的制胜诀窍

有一种极为有趣的火柴游戏，源于我国，大约 100 年前传到欧洲，取名“宁蒙”，也叫中国二人游戏。

游戏的方法是这样的：有若干堆火柴，每堆火柴的数目是任意的。现有A、B 两人轮流地取这些火柴，每人只能从某堆中取去若干根火柴，也可以整堆全部取走，但不允许跨堆取，即不能一次向两堆中拿。约定谁拿掉最后一根火柴就算谁赢。

数学家们已经完全掌握了这种两人游戏的制胜诀窍。为了让读者充分了解取胜的奥妙，我们先从游戏中的获胜位置讲起。为叙述方便，我们用记号

（p，q，r，⋯，s）表示对策中火柴的状态。例如（2，2）表示有两堆火柴，每堆各有两根；（1，2，3）表示有三堆火柴，各堆分别为一根、二根和三根等等。

很明显，（1，1）是一种获胜位置，这是可以直接加以验证的。（2，2）也是一种获胜位置。事实上当 A 拿成（2，2）后，无论 B 怎样应付都有 A 胜。同样，（1，2，3）也是获胜位置，当 A 拿成（1，2，3）后，B 可能拿成以下几种情形。

1°B 拿成（2，3），A 拿成（2，2）胜；

2°B 拿成（1，2，2），A 拿成（2，21）胜；

3°B 拿成（1，1，3），A 拿成（1，1）胜；

4°B 拿成（1，3），A 拿成（1，1）胜；

5°B 拿成（1，2，1），A 拿成（1，1）胜；

6°B 拿成（1，2），A 拿成（1，1）胜。

同样分析可以知道（n，n）及（1，2n，2n＋1）等都是获胜位置。那么一般地，怎样的位置才是获胜位置呢？探索的过程无疑是很艰辛的！但读者大可不必重蹈那曲折的认识过程，数学家们已经为我们找到了捷径。

把每一堆火柴的数目用二进制数表示出来，写成一行。于是，有几堆火柴就有几行二进制数码。

把各行数对齐，并将各列数码相加（不进位），把各自结果的奇偶性写在该列的下方。如果得到的全是偶的，则相应的火柴状态称为正确的状态。数学家告诉我们，正确的状态是获胜位置，不正确的状态就不是获胜位置。道理并不难，假定 A 拿成了一种正确状态，这时各堆火柴的数目所写成

的二进制数各列之和均为偶数。现在轮到 B 拿，B 不可避免地要动到某行二进位数，从而使这一行的一些 1 变成 0，而另一些 0 变成 1。这就使得一些列的和由偶变为奇，从而由正确状态变为不正确状态。

反过来，如果 B 已经拿成不正确状态，比如拿成偶、偶、奇、偶、奇、偶，这表明在右起第二列和第四列内，至少各有一个 1，此时有以下两种可能性：

上述两个“1”在同一个二进位数内，即

××1×1××

则 A 只要从这一个二进位数相应的那堆火柴里，取走 1010（2）＝10 根，这一行的数就变为

××0××0×

上式有“×”的地方，数字不变，这样 A 拿后的火柴状态变为正确状态。这时相应二进位数各列之和，包括第二列与第四列，都变为偶数。

上述两个“1”不在同一行，而在两个不同的行：

也就是说，当从上一行相应的堆取走 6 根火柴时，上面两行将变为如下状态：

式中有“×”的地方，数字都不变。从而各列之和全为偶数。即此时 A 已拿成正确状态。

综合以上两种情形，说明如果 B 拿成不正确状态，则 A 一定有办法把它

拿回到正确状态。而 A 一旦拿成正确状态，轮到 B 拿就只能破坏这种状态，这就是说，只要 A 在游戏的某个时刻把握住了正确状态，他实际上已经稳操胜券了！

我想聪明的读者大约都已掌握了火柴游戏的取胜秘诀。不过，如果对方是生手，你完全不必如临大敌。因为开始时每堆火柴数目很多，堆数也很多，你完全可以随心所欲地拿。等火柴拿得差不多时，再看准那些形如：

（2，2），（1，2，3），

（n，n），（1，2n，2n＋1）

之类基本获胜位置或它们的组合，你的胜利是完全不成问题的！

火柴游戏有许多有趣的变式，其中最为精彩和出人意料的那局闷宫棋，双方的炮均不能离行，逼近将边的兵也不该动，否则必输无疑。因此双方只有动炮及边兵，如果把可动的空位当成火柴的根数的话，那么这种棋局相当于初始状态为（1，4，8）的火柴游戏。这不是一个获胜位置，所以先走的人第一步走“炮七进三”，必定可操胜券。因为这时的状态（1，4，5）已是一个获胜位置。