数学归纳法的第二种形式

数学归纳法是一种重要的论证方法。它们通常所说的“数学归纳法”大多是指它的第一种形式而言，本文想从最小数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法进行粗略的探讨，旨在加深对数学归纳法的认识。

第二数学归纳法原理是设有一个与自然数 n 有关的命题，如果：

当 n＝1 回时，命题成立；
假设当 n≤k 时命题成立，则当 n＝k－1

时，命题也成立。那么，命题对于一切自然数 n 来说都成立。

证明：用反证法证明。

假设命题不是对一切自然数都成立。命 N 表示使命题不成立的自然数所成的集合，显然 N 非空，于是，由最小数原理 N 中必有最小数 m，那么 m≠1，否则将与（1）矛盾。所以 m－1 是一个自然数。但 m 是 N 中的最小数，所以m－1 能使命题成立。这就是说，命题对于一切≤m－1 自然数都成立，根据（2）可知，m 也能使命题成立，这与 m 是使命题不成立的自然数集 N 中的最小数矛盾。因此定理获证。

当然，定理 2 中的（1），也可以换成 n 等于某一整数 k。作为第二数学归纳法的应用，举例如下：

例有两堆棋子，数目相等。两人轮流取走棋子，每人每次可在其中一堆里任意取走若干颗，但不能同时在两堆里取，且规定取得最后一颗者为胜。求证后取者一定可以获胜。

证设 n 为一堆棋子的颗数。

（l）当 n＝1 时，先取者只能在一堆中取一颗，这样另一堆中的一颗就被后取者夺得。所以命题是成立的。

（2）假设当 n≤k 时，命题是成立的。现在来证明当 n＝k＋1 时，命题也是成立的。

因为在这种情况下，先取者在一堆中取走 2（1≤2≤k＋1）颗，这样后取者面临的两堆棋子分别为 k＋1 颗及（k－2＋1）颗，这时后取者可以在较多的一堆中取 2 颗，于是先取者面临的两堆棋都是（k－2＋1）颗，依归纳假设，后取者获胜。

根据（1）和（2）可知，对于任意自然数 n 来证，后取者都可获胜。什么时候需要应用第二数学归纳法？这是很难用一句说清楚的。为此，

我们借助上述诸例重新认识一下第二数学归纳法的证明过程。很明显，对于证明过程的第一个步骤即 n＝1（或某个整数 a）的情形无需多说，只需要用n＝1（或某个整数 a）直接验证一下，即可断定欲证之命题的真伪。所以关键在于第二个步骤，即由 n≤k 到 n＝k＋1 的验证过程。事实上，我们不难从例 1 的第二个步骤的论证过程中发现，证明等式在 n＝k＋1 时成立是利用了假设条件；等式在 n＝k 及 n＝k－1 时均需成立。同样地，例 2 也不例外，只是形式的把 n＝k 及 n＝k－1 分别代换成了 n＝k－1 和 n＝k－2。然而例 3 就不同了，第二个步骤的论证过程，是把论证命题在 n＝k＋1 时的成立问题转化为验证命题在 n＝k－2＋1 时的成立问题。换言之，使命题在 n＝k＋1 成立的必要条件是命题在 n＝k－2＋1 时成立，根据 1 的取值范围，而命题在 n＝ k－k＋1 互时成立的实质是命题对一切≤k 的自然数 n 来说都成立。这个条件不是别的，正是第二个步骤中的归纳假设。以上分析表明，假如论证命在 n

＝k＋1 时的真伪时，必须以 n 取不大于 k 的两个或两个以上乃至全部的自然数时命题的真伪为其论证的依据，则一般选用第二数学归纳法进行论证。之所以这样，其根本原则在于第二数学归纳法的归纳假设的要求较之第一数学归纳法更强，不仅要求命题在 n－k 时成立，而且还要求命题对于一切小于 k 的自然数来说都成立，反过来，能用第一数学归纳法来论证的数学命题，一定也能用第二数学归纳进行证明，这一点是不难理解的。不过一般说来，没有任何必要这样做。

第二数学归纳法和第一数学归纳法一样，也是数学归纳法的一种表达形式，而且可以证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的，之所以采用不同的表达形式，旨在更便于我们应用。

和第一数学归纳法一样，要正确有效的应用第二数学归纳法，也必须注意许多细节问题，至此不再赘述。