数学竞赛与减影诊断

在 1983 年举办的第十七届全苏中学生数学竞赛中，有一道这样的试题： 有一张无边的方格网，你是否能在这张方格网的每一个小方格中填上某

一个整数，使得这张方格网上的每一个尺寸是 4×6 个方格的矩形里的所有小方格中填的数字之和是 1？

这道试题初看起来真有点唬人！因为这张方格网无边无际，要从上面任意位置上取下的 4×6 个方格矩形里的数字之和都要等于 1，确实有点难办。但是，如果你先去考虑设计出两张比较容易构造的“样板”，那么问题就会好办得多。

图 1 是一张无边的方格网，它是这样设计的：在相距是 5 格的对角线的地方交替地写上 1 和 0，其余的方格也都填上 0，如此填满整个方格网。

你很容易会发现，从下面这张方格网中的任何地方取出的 4×6 方格矩形，其数字之和是 2。

图 2 是另一张无边的方格网，在相距是 3 格的对角线上也交替地填上 1 和 0，其余的地方均填的是 0。同样可以看出，从图上这张方格网中任何地方取出的 4×6 方格矩形，其数字之和是 3。

现在来填写第三张网格。

把第一张表和第二张表叠放在一起，将图 2 中每一个小方格中的数减去

图 1 中对应方格中的数，填在第三张表的同样位置上，例如，第一横行第一格 0－1＝－1，第二格是 1－0＝1，第三、四、五格都是 0－0＝0，第六格是1，第七格是-1，⋯⋯以此类推，最后将方格网填满，得到一张新的方格表图

3。从这张新方格表中任何地方取下的 4×6 个方格的矩形，其中数字之和就是 3－2＝1 了。图 3

读者不难发现，重叠的形式不同，就可以得出满足不同要求的各种方格表，图 3 就是其中之一。这种解题思路给出了解决这类问题的一般方法，而这种方法的道理又是十分浅显易懂的。

然而，就是这个浅显的数学思想，却导致了一门世界尖端学科——数字减影诊断学的诞生。

1982 年 3 月，一位 57 岁的美国人，因患阵发性眩晕症去某医院就诊， 医生怀疑他的脑血管有病，于是给他的颈动脉注射一种造影剂，使血管能拍摄得更清楚，然后拍摄了 X 光片。检查了 1 个小时，使病人痛苦不堪，结果却令人失望！因为拍出来的片子上，脑血管影像与颅底骨影像相重叠，X 光片模糊不清，医生无法确诊。两个月后，医生采用了一项新技术再次为病人检查，原先重叠在造影片上的颅底骨影像竟被奇迹般地消去了，片子上只留下清晰的脑血管影像，使医生作出了正确的诊断！这项新技术就是数字减影血管显像技术（简称 DSA 技术）。

这项技术和数学有什么关系呢？

原来，这项神奇的 DSA 技术的原理就是上面提到的解题思路。医生在对

病人注射造影剂的前后，分别对颈动脉拍了两张 X 光片，两张 X 光片上，一张颈动脉血管影像深，一张浅，将这两张底片划分成许多很小很小的小方格， 于是画面就被看成是明暗不同的许多小点所组成。然后根据每一个小方格明暗程度，用数字转换器转换成相应的数字，得到两张有数字的方格网。再将这两张方格网的数字送入电子计算机依次逐点相减，得到一张新的方格网。把这张新的方格网还原成底片，于是就得到了一张没有骨骼组织干扰的异常清晰的血管影像！

数字减影诊断学是一门刚诞生的具有划时代意义的新学科！而它依据的数学原理却如此简单。朋友们，请千万不要轻视你现在所学习的数学知识与解题方法啊！

最后，给大家留一则思考题：

有一张无边的方格网，你是否能够在这张方格网的每一个小方格中填上一个整数，使得这张方格网上每一个尺寸是 1949×1989 的矩形里的所有方格中填的数字之和是 40。

这是一则饶有趣味的问题，新中国成立于 1949 年，1989 年是建国 40 周年纪念，而这则问题恰巧只出现了这三个数字。如果你确实领会了上面介绍的内容，相信你一定能解决这个有意思的问题。如果你解不出，请你再从前面的叙述中找到这个问题的提示。