“逢二进一”的算术

人类对于司空见惯的东西，总是觉得是天经地义的。孩子们从小就学习“逢二进一”的算术，随着年龄的增长，和这种数制打交道越来越多。很少有人怀疑并追究这种数制的由来。其实，十进位制源于人类的 10 个手指。在远古时代，人们是用扳动手指来计数的，2000 年前古罗马的数字和中国的记数符号，都是由此而起源的。

可以想象，假如在数亿年的进化过程中，人类生就的是光秃秃的两个拳头，那么他们所用的数制大约会是“逢二进一”。

桌上放着一打铅笔，我们会准确无误地写出铅笔的数目为“12”。倘若有谁写成“1100”，大家都会认为是荒谬的。然而，这却正是使用“二进位制”的记号。为了今后不至于引起混乱，我们用下标（2）表示进位制下的数。例如；

1100（2）＝1×23＋1×22＋0×21＋0＝8＋4＝12；

10101（2）＝1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1

＝16＝4＋1＝21

上面几式的右端，实际表明了怎样把二进制数化为常用的十进制数。至于怎样把十进制数化为二进制数，下面提供的是一种有效的途径。比如，要把 71 写成二进制数。如下式，我们将 71 除以 2，余数写在右边。如果除尽， 则写 0。

将商再除以 2，重复上述过程，直到商等于 1 为止。这个 1 也写到右边

余数那列的最下面，再从下到上写成一行数，它便是 71 的二进制数的表示法：

71＝1000lll2

二进制的最大优点是，每个数位都只有 0 与互两种状态，这使得我们可以通过简单的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮等等加以表示。下表所列的是 71 用二进制的几种表示方法。当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数目在二进制中要比在十进制中位

数多得多。也有些问题在古进制中显得很复杂，但在二进制中却十分简单。下面一则古老而有趣的传说，颇为生动地体现了这一点：

印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者宰相西萨·班·达依尔。这位聪明的大臣向国王请求说：“陛下我什么也不要，只请您在第一个小格内放一粒米；在第二个小格内放两粒；第三格放四粒；照这样下去每一小格内都比前一小格加一倍。把棋盘上 64 格的米粒都恩赐给我！”

国王慷慨答应了西萨·班·达依尔的要求。他觉得宰相的请示未免过于寒酸。

可是国王很快发现自己的诺言是无法实现的，因为他需要付出的米粒数是：

2 3 4 63

264-1 64

1＋2＋2

＋2 ＋2 ＋ ＋2

＝ 2 − 1 ＝2 －1

＝18446744073709551615

这是一个长达 20 位的天文数字！

最后西萨·班会因为国王无法忍受没完没了的债务而丢掉脑袋。

不过，我们要说的是：如果使用二进制，西萨·班所要求的赏赐，只是一个形式简单的数字。

读者想必对小学里背诵的“九九乘法表”记忆犹新。那是一件十分辛苦而费时的事。然而对于二进制数来说，各种运算规则全都出奇地简单。任何人在半分钟之内，都能把它背得滚瓜烂熟：

运算规则可以归纳为八个字：“格式照旧，逢二进一。”利用这一规则， 可以很容易地实现二进制数的四则运算。下一位的 1＋l。

读者可以自行设计更多的练习。目前，这种只有“0”、“1”“两个数字的二进制系统，已成为计算机最为理想的数字语言。