从一则寓言故事谈起

从前，一个懒人有一大瓮米。一天，他盘算道：

“我将卖掉这些米，并买来尽可能多的小鸡。这些鸡长大后会下很多蛋。然后我把鸡和蛋卖了，再买来许多猪。当这些猪长大的时候，便会生许多小猪。那时我再把它们卖了，买回一些水牛。有了水牛，就会有许多小水牛。如果我把它们卖了，我就有钱买一块地。有了地，便可以种稻米、甘蔗和谷物。有了收成，我还可以买更多的地。再经营几年，我就能够盖上一幢漂亮的房子。”

“当我盖好房子，我将娶一个世上最美的女人做妻子。” “那时，我是多么地富有，多么地幸福啊！”

懒人兴奋得手舞足蹈，不小心踢破了瓮，米倾落在肮脏的地面上。此时，邻居的一大群鸡蜂拥而来，把地上的米啄食精光。小鸡、猪、土地、房子和美丽的女人，一切的一切全都成了泡影。留给这个懒人的只是一只破了的瓮。

尽管懒人的结局是可悲的，但他的演绎术却颇值称道。下面我们研究一下懒人是怎样进行一连串推理的。

首先，他从一瓮米开始，提出命题：“如果有米，那么可以卖掉米，买来尽可能多的小鸡”。简记为：“若有米，则有鸡”。这实际上是关于“有米”者的一个命题，不论这有米者是谁。所以是个大前提。

懒人的第二个命题是：“我有一瓮米”，这是小前提。如果上述两个前提为真，那么推出的结论一定不假。用 P 代表“有米”，Q 代表“有鸡”，于是有：

【大前提】P→Q，若有米，则有鸡。

【小前提】P，我有一瓮米。

【结论】Q，那么我有尽可能多的鸡。懒人接下去的推理是：

【大前提】若有鸡，则有蛋。

【小前提】我有鸡。

【结论】我有蛋。（我的鸡会生蛋）

【大前提】若有鸡和蛋，则有猪。

【小前提】我有鸡和蛋。

【结论】我有尽可能多的猪。

⋯⋯⋯⋯

以上这些都是演绎推理的简单例子。这种由大前提、小前提和结论三部分组成的演绎推理方法，称为“三段论”。在三段论法中，如果我们承认 P

→Q 是真实的，而由此推得的逻辑上的合理结论，可以写成： P→Q

若 P、Q 是经验命题，那么复合命题 P→Q 真实与否就不得而知。若要说明不成立，只需举出一个反例就够了。例如“凡是鸡都会下蛋”，“若有鸡和蛋，则有猪”，这些经验命题都未必是成立的。这正是懒人悲剧之所在。而懒人的演绎推理方法，却是无可指责的。

若 P、Q 是分析命题，例如 P 是“乘法交换律 m·n＝n·m”，Q“5·3＝ 3·5”，对于规定的“数”和“乘法”，要么两者都成立，要么两者都不成立。如果我们同意前一个命题，我们也就必须同意后一个命题。复合命题 P

→Q 在这种意义下被认为是真实的。

今天初中课本上讲的平面几何都是在公理的基础上通过科学的演绎，建立起来的。

下面我们看一看如何通过演绎的方法，证明“三角形内角和等于 180

°”。

（l）【大前提】：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

【小前提】C 是直线 AB 外一点。

【结论】存在唯一直线 CD∥AB。

【大前提】两直线平行，同位角相等。（定理）

【小前提】CD∥AB

【结论】（同位角)∠1＝∠4

【大前提】两直线平行，内错角相等。（定理）

【小前提】CD∥AB

【结论】（内错角）∠2＝∠5

【大前提】若是平角，则等于 180（定义）

【小前提】∠3＋∠4＋∠5 为平角

【结论】∠3＋∠4＋∠5＝180°

【大前提】在等式中，一个量可以用它的等量来代替。（公理）

【小前提】∠1＋∠2＋∠3＝∠3＋∠4＋∠5

【结论】∠1＋∠2＋∠3＝180°（即为所证）

在实际运用中，三段论时常采用省略式。对于大前提不说也明白的情形，可以省去。例如：

“在△ABC 中∵AB＝AC【小前提】∴∠B＝∠C”【结论】

这里省略的大前提：“等腰三角形底角相等”是众所周知的。

在小前提内容和大前提联系极为明显，或结论可以必然推出时，相应的小前提或结论也可以省略。

例如：甲、乙两人相遇，甲说：“我从来不给傻子让路！”乙反唇相讥说；“我可恰恰相反。”甲的三段论是：

【大前提】我从来不给傻子让路。

【小前提】（你是傻子）。

【结论】（我不给你让路）。乙的三段论是：

【大前提】我可恰恰相反。（即我只给傻子让路）

【小前提】（你是傻子）。

【结论】（我给你让路）。

虽然甲和乙都只讲了大前提，但由于是当面对话，且又辅以一定动作，所以小前提和结论都省略了。当然，省略式必须运用得当，否则便会隐藏某种错误。例如有时我们会听到学生这样评论考试，说是：“今天题目很难，因此我考不好”。初听起来，不觉得有毛病，其实这里隐藏了一个错误的大前提：“如果题目很难。那么一定会考不好”。所以初学三段论法，不要轻易采用省略式。