布尔的命题代数

公元 1847 年，一位完全靠自学成才的英国数学家布尔（Boole，1815～ 1864），深刻研究了命题演算如下规律：即当命题 A 和命题 B 同时为真时， 命题 A·B 才能为真，特别当 A 为真时，A·A＝A 才能为真。从真假性的意义讲，A2 与 A 是等价的，即可写成 A2＝A。布尔先生发现：

×·×＝×2＝×

这是所研究逻辑类演算的特有规律。它不同于普通的代数运算。它决定了逻辑变量只能取 0 和 1 两个值。布尔解释道：如果用 X 表示命题的真值， 那么 X＝1 表示命题 X 为真，X＝0 表示命题 X 为假。

利用真值表，很容易验证“或”、“与”、“非”三种逻辑运算，具有以下基本性质：

  1. “ 或 ” 运 算 的 基 本 性 质 A＋B＝B＋A（ 加 法 交 换 律 ）； A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C（加法结合律）； A＋0＝A；

A＋1＝1； A＋A＝A（加法重复律）。

  1. “ 与 ” 运 算 的 基 本 性 质 A·B＝B·A（ 乘 法 交 换 律 ）； A·（B·C）＝（A·B）·C（乘法结合律）； A·0＝0；

A·1＝A； A·A＝A（乘法重复律）。

  1. 乘法对于加法的分配律P·（A＋B＋⋯＋C）＝P·A＋P·B＋⋯＋P·C。

就这样，布尔先生创造了一种崭新的代数系统。这种代数系统，把逻辑思维的规律，归结为代数演算的过程。从而使逻辑关系的判断与推理，复杂命题的变换与简化，终于找到了巧妙而有效的数值化的途径。例如考虑乘积P·Q·R⋯·S，这个乘积命题肯定了它的每个分支命题的论断：如果分支命题都是真的，那么乘积命题自然也是真的；反过来如果乘积命题是真的，那么它的每个分支命题也必须是真的。用命题的真值表示，就是：

P = 1

Q = 1 PQR S = 1 ↔ R = 1

S = 1

符号“↔”表示等价。同理，若 P·Q·R⋯·S＝0，则在 P，Q，R⋯S 之中至少有一个真值为 0，反之亦然。

在逻辑问题中我们还经常把蕴涵命题“P→Q”转换为方程P＋Q＝1

或P·Q＝0这种转换的等价性，由下表可以看得非常清楚。

P

→ Q

P

Q

P＋Q

P·Q

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

上面所讲的有关命题运算的一些知识，远非人们想象的那么枯燥无味和费解，下面的一些有趣问题，将使你领会布尔先生的代数技术是多么的有用。

这是一个著名的关于判定谁有罪的智力难题。已知：若 A 无罪，则 B 与 c 都有罪；

在 B 与 C 中必有一人无罪； 要么 A 无罪，要么 B 有罪。问：谁有罪？

为了把逻辑推理问题化为命题代数问题，我们用 A、B、C 分别代表命题“A 有罪”、“B 有罪”、“C 有罪”。依题意得：

A→B·C，即有A＋BC＝1

B＋C＝1 A＋B＝1

由此（A＋BC）（B＋C）（A＋B）＝1

上式左端展开后给出：

ABA＋ABB＋ACA＋ACB

＋BCBA＋BCBB＋BCCA＋BCCB＝1

注意到对于命题 X，有

X·X＝0

则上式左端除ACB一项外其余全为0，即得：

ACB＝1

这意味着A＝1，C＝1，B＝1。也就是说，A和B是有罪的，C是唯一的

无罪者？

对于含有条件命题的推理问题，上例所用的技巧是具有普遍意义的。下面曲型的例子，将使你处理这类问题的技巧得到进一步熟练和巩固。

在一次班级选举中，小华、小明和小聪都被选为班委。已知：

如果小华是体育委员，那么小明就是学习委员； 如果小聪是班长，那么小华就是学习委员；

如果小华是学习委员，那么小明就是班长；

如果小明不是体育委员，那么小聪就是学习委员； 问：各人担任什么职务？

这是一个相当困难的智力问题，为叙述方便，我们用 A、B、C、代表小华、小明和小聪，而用下标 1、2、3 分别代表担任学习委员、体育委员和班长。

依题意得：

A 2 →B1 ，即有A 2 ＋B1＝1

A 1→B3，即有A 1＋B3＝1

B2 →C1，即有B2 ＋C1＝1

C →A ，即有C2 ＋A ＝1

 3 1 1

由此（A 2 ＋B1）（A 1＋B3）（B2 ＋C1）（C 3 ＋A1）＝1

上式左端展开后给出

A 2 A1 B2 C3 ＋A 2 A1 B2 A 1＋A 2 A 1C1 C3 ＋A 2 A1C1A1

＋A 2 B3B2 C3＋A 2 B3 B2 A1 ＋A 2 B3C1 C3

＋A 2 B3C1A 1＋B1 A 1 C3 ＋B1 A 1 B2 A1

＋B1 A1C1C3 ＋B1 A 1C1A1 ＋B1 B3 B2 C3

＋B1 B3A 1 ＋B1 B3C1 C3 ＋B1B3C1A 1

＝1

由于不相容的命题不可能同时为真，因此上式左端除第一、三、七项外， 其余各项均为 0，即得

A 2 A1 B2C3＋A 2 A 1C1C 3 ＋A 2B3C1C 3＝1

化简得

A 2 C3 （A 1B2 ＋A 1C1＋B3C 3）＝1

从而推知：A 2 ＝1，C3 ＝1

A 1B2＋A1C1＋B2C1＝1

注意到A 2 ＝1→A2＝0，这就使得B3C1＝0（否则将A2＝1，出现矛盾1）。

于是有

布尔的命题代数 - 图1

最后的推理是因为：若 B2＝0，则只有 B1＝1，从而 C1＝0 这与 B2＋C1

＝1 矛盾。

综上，我们得到 A3＝1，B2＝1，C1＝1。这个结论表明：小华被选为班长，小明被选为体育委员，小聪则被选任学习委员。

亲爱的读者，从上面的例子你是否已经发现，怎样用命题代数的技巧来解这一类逻辑难题呢？