奇妙的无限大算术

为 20 世纪数学的攻坚吹响进军号的德国数学家大卫·希尔伯特，曾经讲过一个关于无限的非常精彩的故事：

我们设想有一家旅店，内设有限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了一位新客，想订一个房间。旅店老板会怎么说呢？他只好讲：

“对不起，房间都住满了，请另想办法吧！”

现在再设想另一家旅店，内设无限个房间，所有房间都住满客人。这时也有一位新客来临，想订个房间。这时却听到旅店老板说：

“不成问题！”

接着，他就把一号房间的旅客移到二号；二号房间的旅客移到三号；三号房间的旅客移到四号；如此等等。在经过一场大搬家之后，一号房终于被腾出来，新客就被安排在一号房里。

不久，突然来了无穷多位要求订房间的客人。怎么办呢？老板急中生智， 又想了妙法：

“好的，先生们，请稍等一会”老板说。

接着，他通知一号房间的旅客搬到二号房；二号房间的旅客搬到四号房； 三号房间的旅客搬到六号房；四号房间的旅客搬到八号房；如此等等。

现在，所有单号的房间都腾出来了！新来的无穷多位旅客，便可以安稳地住进去了！

希尔伯特的这个故事，把无限的特性刻划得维妙维肖！它说明了下面的

真理：即可数集加一个或几个元素仍是可数集；可数集加上可数个元素还是可数集。用符号表示就是：

卍 0+1=卍 0

卍 0+n=卍 0

卍 0+卍 0=卍 0

这便是无限大的加法。

下面我们再研究卍 0 的乘法运算。假定有两个无限集合

{○，△， ，□，⋯⋯}；

{白，重边，阴影，阴阳，黑}

它们的元素个数，分别等于已知的基数。那么很自然，两个基数的积， 可以定义为由两个集合元素配合而得到的新集合的基数。下表列出了新集合的所有无素。这个新集合的基数

（○，白），（○，重边），（○，阴影），⋯⋯

（△，白），（△，重边），（△，阴影），⋯⋯

（ ，白），（ ，重边），（ ，阴影），⋯⋯为卍 0，写成式子是： 卍 0 卍 0=卍 0。

由于 2×卍 0、3×卍 0。等等，不可能有比卍 0×卍 0 更大的基数，从而也就意味着对于正整数 n 有：n×卍 0=卍 0

下面是一道明显的错题，它可以帮助人们弄清有限算术和无限算术的界限。

有人作了以下推理：

∵2 卍 0=卍 0

∴2=卍 0/卍 0=1

亲爱的读者，你知道错在哪里吗？

为了让读者一睹卍在应用上的风采，我们介绍一个数学史上的重大发现。

公元 1851 年，法国数学家刘维尔（Liouville，1809～1882）首次证明了“超越数”的存在。

什么是超越数？如果一个实数，满足形如anxn+an-1xn-1+⋯⋯+a2x2+a1x+a0=0

的整系数代数方程（an≠0）。那么，这个实数就叫“代数数”。实数中

3

除代数数之外，其余的数都是超越数。代数数范围很广，像 5 ， 7， 2 + 2 ，

⋯⋯都是代数数。超越数为人类所认识的第一个数，是刘维尔找到的，后来就叫刘维尔数。它是一个无限小数，其中的 1 分布在小数后第 1，2，6，24， 120，720，5040，⋯⋯等等处：

L＝0.1100010000000000000000001000⋯⋯

刘维尔的论证是艰难的。不过，在一个半世纪后的今天，应用神奇的无限大算术，人们可以相当轻松地证明超越数的存在！事实上，在整系数代数方程

anxn+an-1xn-1+⋯⋯+a1x+a0=0，（an≠0）

中（n＋1）个系数都只能取整数值，因此这样方程集合的基数当为：卍 0n+1，

（n＝1，2，3，⋯⋯）

而对于全部的整系数代数方程，其集合的基数当为：

卍0 + 卍² + 卍³ +

卍n+1 +

= 卍0 + 卍0 + 卍0 + + 卍0 +

= 卍0 ×卍0 = 卍0

另一方面，每个 n 次方程最多只能有 n 个根。因而代数的基数，当不大

于

卍 0×卍 0=卍 0

也就是说，代数数是可数的！

超越数虽然很多很多，但具体的超越性判定，却很难很难！在中学中最常见的两个超越数是，自然对数的底 e 和圆周率π：

e＝2.71828182⋯⋯ π＝3.14159265⋯⋯

他们的超越性，是由法国数学家埃尔洣 Hermit，1822～1901）和德国数学家林德曼（Lindemann，1852～1939），分别于公元 1873 年和 1882 年证明的！