圆周率π的算法

人类对于圆周率π的研究，可以追溯到极为久远的年代！

古代的希伯来人，在描述所罗门庙宇中的“熔池”时曾经这样写道：“池为圆形，对径为十腕尺，池高为五腕尺，其周长为三十腕尺。”可见，古希伯来人认为圆周率等于 3。不过，那时的建筑师们，都明白，圆周长与直径的比要比 3 大一些。

早在公元前 3 世纪，古希腊的阿基洣德已经想到用“逼近”的办法来计

算π。为说明阿基洣德超越时代的天才构思，我们先从一个半径为 1 的圆的内接和外切正三角形讲起。为叙述方便，我们用 ak 和 ak′分别表示单位圆

内接和外切正 k 边形的边长，和 pk 和 pk1 表示相应的周长。易知：

Pk ＝k·ak

P ′＝k·a ′

 k k

显然，把圆内接正 k 边形各顶点间的弧二等分，便可得到圆内接正 2k 边形，并由此得

ak ＜2a 2k

P ＜p

 k 2k

这样，我们从圆内接正三角形出发，推出

p3＜p6＜P12＜p24＜⋯＜p k-1＜⋯

上述无限递增序列{p3·2k-1}，明显地以圆周长为上界。同理，我们有

P′3 ＞ P′6 ＞ p′12 ＞p′24 ＞⋯＞p′3 · 2k-1＞⋯这一递减序列{p′ _3·2k-1}，也明显地以圆周长为下界。

很明显，以上两个一升一降的无限序列，当 k 增大时越来越靠近，从而

有

lim p'3·2^{k −1} = 2π

k→∞

阿基洣德正是利用上面的办法，一直计算到 p96 和 p’96，得出：

3 10 ＜π＜3 1

71 7

阿基洣德的这一出色工作，载于他的著作《圆的度量》一书。

继阿基洣德之后，在计算圆周率的方法上有重大突破的，是我国魏晋时期的数学家刘徽和他的割圆术！

公元 263 年，刘徽在对我国古籍算书《九章算术》的注释中，提出了计算圆周长的“割圆”思想：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣！”

刘徽创立的割圆术，有四个要点，用现代方式表述如下：

1. 圆内接正 3×2k 边形，当 k 增加时，其面积与圆面积的差越来越小。当 k 无限增大时，正多边形面积 Sk 与圆面积 A 几乎相等；

2. S2k＜A＜S2k＋（S2k-Sk）

（3）S = K a R

2k 2 k

（4）a 2k =

上述第一个要点，是刘徽思想的核心。他把圆看作是边数无限的正多边形。读者从这里可以看到极限思想的光辉！

第二点是刘徽的一个重要发现。在计算圆面积的时候，只要考虑圆内接正多边形，而无须同时考虑圆外切正多边形。这是刘徽方法与阿基洣德方法之间本质的区别，也是割圆术先进之所在！这一重要公式证明如下：

如下图，设 A、B 是圆内接正 k 边形两个相邻的顶点，C 是 AB 中点，则AC 为圆内接正 2k 边形的一边。已知 AB 与 OC 交于 D 点，又 ABFE 为矩形，其一边 EF 切圆 O 于 C 点，易知：

S2k-Sk=k·S△ABC

O＜ A-S2k＜2K·S△ABC

=K·S△ABC

∴O＜A-S2k＜S2k-Sk

即 S2k＜A＜S2k+（S2k-Sk） 由此可得

lim S2k = A

K→∞

割圆术的第三个要点，刘徽建立了一个面积 S2k 与边长 ak 之间的计算联系。事实上

S2k=K·S 四边形AOBC

= k· 1 AB·OC = K a R

2 2 ^k

这里 C 是圆的周长，C＝2πR。

∴ A 1 2πR·R = πR²

＝ 2 ·

特别，当 R＝1 时有

A＝π

着眼于面积计算π，这是刘徽与阿基洣德方法的又一不同。

第四个要点，刘徽建立了 ak 与 a2k 之间的递推关系式。这一式子基于勾股定理，事实上

∵ OD =

又 a 2＝2R·DC

＝2R（R－OD）

∴a2k 2 = 2R ² - R

即

• ak 2

a 2k =

刘徽就是利用上面的递推式子及公式

S2 k

= k a

1. k

如同下表，一直算到了圆内接正 192 边形：

再根据 S2k＜A＜S2k+（S2k-Sk），当 k＝96 时有

3.141024＜π＜3.142704

取相同的两位小数，即得：π≈3.14

刘徽的割圆术，其意义不仅在于计算出了π的近似值，而且还在于提供了一种研究数学的方法。这种方法相当于今天的“求积分”，后者经 17 世纪英国的牛顿和德国的莱布尼兹作系统总结而得名。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”，并把他所创造的割圆术称为“徽术”。