“无限”的诞生

无限的思想诞生于何时何地，如今已难确切查考了。然而古希腊学者欧几里得（Euclid，公元前 330～前 275）的名著——《几何原本》第九卷中对质数无限性的认识十分精彩。

文中全部用几何的方式，表述了一个纯粹数的问题！其中“测量”一词， 即算术中的“除尽”。

“质数比任何给定的一批质数都多。”

“假设 A，B，C 是指定的质数；我说除了 A，B，C 之外还有其他的质数。事实上，取 A，B，C 所能测量的最小数，设它为 DE；把单位 DF 加到 DE 上。于是 EF 或者是质数或者不是。首先，假设 EF 是质数，那么我们已得到了质数 A，B，C，EF，它比质数 A，B，C 要多。其次假设 EF 不是质数，从而它必能被某个质数所测量。假设它能被质数 G 测量。我说 G 和数 A，B，C，都不相同。因为，如果可能的话，假定 G 和 A，B，C 中的某个数相同。那么由于A，B，C 能测量 DE，所以 G 也能测量 DE。但 G 还能测量 EF。所以 G 作为一个数，它就能测量余数，也就是单位 DF；而这是荒谬的！所以，G 与 A，B，C 当中的任何一个数都不相同。并且按照假设，G 是质数。所以我们就找到了质数 A，B，C，G，它比给定的一批质数 A，B，C 更多”。

这个证明可以推广到多个质数的情形，即若 2，3，5，7，11⋯⋯，P 为所有不大于 P 的质数，则

2×3×5×7×11×⋯⋯×P＋1=N

数 N 或者是质数，或者所有的质因子都大于 P。

在他之前约 200 年，另一位古希腊学者芝诺（Zenon，公元前 496～前 429）曾提出一个著名的“追龟”诡辩题。从中，我们可以看到当时人类对“无限” 的认识，及理解上的局限。大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希腊传说中的英雄，善跑的神。芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追不上乌龟！

芝诺的理由是：如图所示假定阿基里斯现在 A 处，乌龟现在 T 处。为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点 T，当他到达 T 点时，乌龟已前进到 T1 点；当他到达 T1 点时，乌龟又已前进到 T2 点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离。因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！

芝诺的论断显然与常理相悖。由于当时人类只有粗糙的无限观念，数学家们曾经错误地认为：无限多个很小的量，其和必为无限大。芝诺正是巧妙地钻了这个空子：把有限长的线段分成无限多个很小线段的和；把有限的时间可以完成的运动，分成无限多段很短的时间来完成。芝诺的“追龟”问题， 无疑是向当时错误的“无限”观念提出了挑战。数学家们感到数学面临着潜在的危机！

后来人们终于弄清楚，要克服上述危机，需要一场观念上的革命。即无

限多个很小的量的和，未必是无限大！“无限”地累加，也可能得出有限的结果！

让我们再看一看追龟问题。设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，龟在前面100 洣。当阿基里斯跑了 100 洣时，龟已前进了 10 洣；当阿基里斯再追 10 洣时，

龟又前进了1洣；阿再追1洣；龟又进了

1

100

洣， 。于是：阿基里斯追上

乌龟所跑的路程 S：（单位洣）

S＝100 + 10 + 1 + 1

10

+ 1 +

100

上式右端是无限多个很小量的和，然而它却是有限的！为了让读者理解这一点，我们先从等比数列的知识讲起。

一个数列，如果从第二项起每项与前一项的比是个常数，我们把这个数列叫做等比数列，常数叫这个等比数列的公比，例如

①1，2，22，23，24，⋯⋯263

②1，7，72，73，74⋯⋯都是等比数列。

现在假定有一等比数列，第一项为 a，公比为 q∶ a，aq，aq2，⋯⋯，aqn-1

怎样去求它的前 n 项和 Sn 呢？一个颇为巧妙的办法是：把 Sn 乘以 q， 然后错位相减，即：

Sn＝a＋aq＋aq2＋⋯⋯＋aqn-1 q·Sn=aq+aq2+aq3+aqn Sn（1－q）＝a－aqn

a(1 - q ⁿ )

Sn =

1. q

这样，我们得出了一个很有用的公式。

当等比数列的公比 q 的绝对值小于 1 时，数列的项无穷递缩，越来越趋近于 0。此时，虽然项数有无限多个，但它们的和却是个有限的数。事实上， 当 0＜｜q｜＜1 时：

S＝a＋aq＋aq2＋⋯＋aqn-1＋⋯

= lim Sn n→∞

= lim

n→∞

a

= 1 - q

a(1 − q ⁿ ) 1 − q

上式中符号“lim”，“是英语 limit（极限）一词的缩写”。表示“当n 趋于无穷时某式的极限”。

应用上述公式可以算得追龟问题中阿基里斯的追及路程：

S = 100 + 10 + 1 + 1 +

10

1 +

10²

= 100 = 1000 (洣)

1 − 1 9

10

与古希腊相比，我们的祖先对“无限”的概念可要明确得多。几乎与芝诺处于同一时代的墨子（公元前 468～前 367）就曾提出过“莫不容尺，无穷也”的见解。这就是说，有这样一种量，用任意长的线段去量它，它都能容纳得下。这是明显的“无限”的思想。稍后于墨子的《庄子》一书，更提到“至大无外，至小无内”。前半句讲的是无限大，后半句讲的是无限小。该书《天下篇》中还有一句名言：

“一尺之棰，日取其半，万世不竭！”意思是，把长一尺的木棒，每天取下前一天所剩下的一半，如此下去，永远也不会取完。

1 1 1 1

若 Sn = 2 + 22 + 23 + + 2 n

则 lim Sn = 1

n→∞