“有限”的禁锢

有限，常常禁锢着人们的思想。大家习惯于把有限运算的法则，不知不觉地运用到运算中去。当人们为某些正确的成果而欢欣鼓舞的时候，往往忽略了思维中的潜在危险！

下面是一些十分有趣的循环算式计算：

如 ，这类循环算式是可以直接加以计算的，事实上

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +



x = 3² 23

1

25 ·52 24 26

1

2 4

1 1

1− 1−



= 3 4 ·5 4

2 1

但如果注意到

= 33 ·53 =

x =

则x⁴ = 45x

立得x = ³ 45（舍去x＝0），这显然要简单得多。

又如下面的无限分数

1

x = 1 + 1

2 + 1

1 + 2+Ο

1

易知有 x = 1 + 1

2 + x

从而 2x² - 2x - 1＝0

x = 1 + 3 (x＞0)

2

读者中可能很少有人会对上面运算的正确性表示怀疑。其实，这些计算必须以“循环算式的值”存在为前提。倘若不是这样的话，我们甚至会得出荒谬的结果！下面的例子在历史上是颇为有名的：

三个学生用三种不同的方法，计算式子1-1+1-1+1-1+⋯⋯

竟然得出各不相同的结果！

某甲：原式＝（1-1）＋（1+1）＋（1-1）＋⋯⋯

＝0＋0＋0＋⋯⋯＝0；

某乙：原式＝1+（-1＋1）＋（-1＋1）＋（-1＋1）+⋯⋯

＝1+0+0+0＋⋯⋯＝1； 某丙：令 X＝1－1＋1－1＋1-1＋⋯⋯

∵X＝1－（1－1＋1-1+1-1＋⋯⋯）

＝1-X

∴2X＝1，X = 1 。

2

亲爱的读者，依你之见，他们三人谁是对的呢？

要跨越有限的栏栅，需要一种异乎寻常的思考，下面一道问题的最终结果，可能会大大出乎人们的意料！

公元 1799 年，德国数学家高斯证明了代数学的一个基本定理。即 n 次方程必有 n 个根。对于一个简单的方程

x2=x

我想读者都能准确无误地求出它的根来:x1 ＝1，x2＝0。倘若有人告诉你，你所求的只是有限根，还有两个“无限”解没求出哩！对此，你一定会大感惊讶，然而这是确实的！

显然，要使 x2＝x，x 的个位数字只能是 1，5，6 三个。如果同时考虑十

位数的话，那么只有以下的两种可能：

x1 = 25

x = 76

 2

为求 x1 的百位数字，可令（k1 为 0 至 9 的数字）： x1＝⋯⋯k125

x² = （

k1） ² ×10⁴ ＋2×（

k1）×10² ×25＋25²

=⋯⋯625

∵x² ＝x

1 1

∴k1=6 接下去再令 x1＝⋯⋯11625

x² = （

11 ）² ×10⁶ ＋2×（

11 ）×10³ ×625＋625²

=⋯⋯0625

又得 11＝0

以上步骤可以一步一个脚印地做下去，得出一个满足“x ² ＝x”的无

限长的“数”

x1＝⋯⋯2890625

从推导的过程容易看出，这个无限长的“数”等于（（（5² ）² ） ² ） ² Ν

求 x2 的过程稍微复杂一些，但方法是一样的。令x2＝⋯⋯k276

x² ＝（ k ）² ×10 + 2×（ k ）×10² ×76＋76²

2 2 4 2

= （

∵x² = x

k2 ） ² ×104 ＋15200×（

2

k2 ）＋5776

∴2k2＋7＝K2＋10，k2＝3 从而 X2＝⋯⋯376

同样，我们可以求出 x2 的后四位数为 9376；后五位数为 09376；再下去又有 109376；如此等等，一位一位数字地往前算，便得到另一个无限长的“数”

X2＝⋯⋯7109376

至此，一个极为普通的二次方程“x2＝x”除通常的 X=0，x＝1 两个解外， 居然又找到了两个“无限”的解：

x1＝



 2 ＝

2890625

7109376

对此有趣的结沦，聪明的读者难免感到意外，并对如今的方程理论，重作一番认真的思考。

由于 X1 的右起各位数字，可以通过下面的计算求得：

5 5

52

（5² ） ²

（（5² ） ² ） ²

（（（5² ） ² ） ² ） ²

25

625

**0625

** ** ** * 90625

（（（5² ） ² ） ² ） ²

2890625

因此，我们完全不必一位接一位地推算。上表的右边便是直接得到的结果。“＊”是无效的数字。但求 X2 却没有相应于上述的那种捷径。不过，下面的表却可以帮助你很快地通过 X1 求得它！