“连续统”之谜

在学习代数中都有体会，乘方运算要比加法和乘法运算有力得多，那么在集合中这种乘方是什么含义呢？

先让我们看看有限的情形吧！大家知道，一个单元素的集合，其子集共有两个，即空集φ和本身；一个双元素的集合，易知其子集有 4 个，即 22 个； 而一个有三个元素的集合｛a，b，c｝，它的全部子集可以求得，共有 8＝23 个，那么，一个具有 n 个元素的集合

P＝｛a1，a2，a3，⋯，an｝

它的全部子集是否有 2n 个呢？我们说：是的！事实上，可以这样来构造P 的子集：

元素 a1 要么取，要么不取； 元素 a2 要么取，要么不取； 元素 a3 要么取，要么不取； 元素 an 要么取，要么不取。

由于每个元素都有“取”与“不取”两种可能，因此它们之间共有 2n 种不同的组合。每种元素的组合都构成了一个子集，所以集合 P 共有 2n 个子集。以这 2n 个子集为元素的大集合，我们称为集合 P 的幂集。显然，如果集合 P 的基数为有限数 n，则幂集的基数为 2n。

现在我们把幂集的概念推广到无限集去，把无限集的全体子集构成的集合也称为幂集。假定某无限集的基数为卍 0，那么它的幂集的基数也可以形式地写为 2 卍 0。问题在于 2 卍 0 等于多少？它能比卍 0 更大吗？

公元 1874 年，康托论证了幂集的无穷大级别大于原集的无穷大级别。特别地：

2 卍 0＞卍 0

康托教授终于使我们跳出了卍 0 的圈子。

这样一来，我们得到了一个比卍 0 更大的数 2 卍 0，康托把它记为卍 1。利用求幂集的手段，我们又可以得到比卍 1 更大的超限基数卍 2，卍 3 等等。

卍 = 2卍1 = 22卍0

卍3 = 2 卍2

= 22卍2

= 22 2 卍0

就这样，康托找到了一个“青出于蓝而胜于蓝”的无穷大家族：

卍 0，卍 1，卍 2，卍 3，卍 4，⋯⋯

阿列夫家族的第一代卍 0，便是大家熟知的可数集基数；阿列夫家族的第二代卍 1 表示什么呢？读者很快便会看到，卍 1 相等于全体实数的数目。

因为：任何一个实数都可以写成二进制数。反之，任何一个二进制数都表示一个实数。特别，一个二进制小数，表示[0，1]区间内的一个数。例如：

0.1101001⋯（2）

1 1 1 1

= 2 + 22 + 0 + 24 + 0 + 0 + 27 +

= 0.5 + 0.25 + 0.0625 + 0.0078125

= 0.82

很明显，在可数集Q＝｛a1，a2，a3，⋯⋯｝

的子集和二进制小数之间，我们能够建立起一一对应。办法是：如果某子集包含 Q 中的某个元素，则在与该元素对应的小数位上写“1”，否则写“0”。如 Q 的子集

｛a1，a3，a4，a8，a10⋯｝ 则与其对应的二进制小数为

0.1011000101⋯⋯（2）

反过来，任一个二进制小数，也对应着一个确定的 Q 的子集。如0.1101001⋯⋯

（2）

它对应着 Q 的子集

｛a1，a2，a4，a7，⋯⋯｝

以上表明：Q 所有子集与二进制小数有相同的数目。这一结论，换成另一种表述即：[0，1]线段上的点的数目有 2 卍 0=卍 1 个卍 0。

我们将从不同的角度，重新证实这一结果。

新的证明依然用反证法。假定区间△＝[0，1]上的点是可数的，它们已按某种规则排成一列：

α1，α2，⋯，αn，⋯

把△分为相等的三部分[0， 1]、[1 ， 2 ]、[ 2 ，1]。显然，这三部分中至

3 3 3 3

少有一部分不含α1 点。我们选定一个不含α1 点的部分，记为△1。接下

去我们又把△1 分成三个小、部分，又取其中不含α2 的一小部分，记为

△2。如此等等，这样的过程可以无限地延续下去，结果得出一串一个套着一

个，并在越来越小的区间序列

△ ⊃ △1 ⊃ △2 ⊃ △3 ⊃

上述的区间序列，最终套缩为区间［0，1］上的某个确定点ε。这一点ε自然应当是集合{αn}的一个元素，不妨令ε＝α1。

这样，一方面根据△n的选取得知：α k ∉△ k 。另一方面由区间套的性质又有：αkS∈△k。上述矛盾表明：假令区间[0，1]上的点“可数”是错误的。这便是实数集不可数的又一种证明！

上述证明，我们还可以通过以下的方法，使它变得更为直观。令： α1＝0.245087⋯⋯

α2＝0.307762⋯⋯ α3＝0.955451⋯⋯ α4＝0.107078⋯⋯ α5＝0.202169⋯⋯ α6=0.893321⋯⋯

⋯⋯

现构造一个小数ε，使ε的相应数位上的数字，恰与上表对角线上的黑体数字，构成以下关系：凡ε黑体数字非零，则ε相应数位上的数字为“0”， 凡黑体数字为零，则ε相应数位上的数字为“1”。即

0.2 0 5 0 6 1

↓↓↓ ↓↓ ↓

0.0 1 0 1 0 0

从而ε＝0.010100⋯⋯

显然，数ε不可能等同于{αn}中的任何一个。事实上，ε与αk 之间至少小数点后第 K 位数字是不相同的。你非 0，我则 0；你为 0，我则 1。

由于{αn｝包含了[0，1]间的任一实数，从而有ε∈{an}

这与前面的结论明显矛盾，从而证得[0，1]上实数“可数”的反设是错误的！

由于[0，1]上的实数代表着连续的点，因此历史上常用记号 C 表示这种无穷大的基数，称为连续统基数。这里 C 是“连续统”的英文词的第一个字母。