通过有限认识无限

有限和无限是一对哲学范畴，也是各门科学中经常要碰到的一对矛盾。恩格斯曾经明确指出：“无限性是一个矛盾，而且充满种种矛盾。无限

纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样。”因此，人们对于无限的认识，只能处于有限与无限对立统一的矛盾之中，只能在揭露矛盾中去认识无限，在解决矛盾中去把握无限。也就是说，有限组成无限，无限离不开有限，只能通过有限去认识无限。

无疑，“通过有限去认识无限”，是马克思主义的方法论，是符合唯物辩证法的，它是我们在认识世界和改造世界的革命实践中一个必须遵循的原则。但是，客观事物是无限复杂多样的，它具有无限丰富的内容。它要求我们在认识事物的过程中，不但要注意普遍性，而且要注意特殊性。在不同的情况下，有限组成无限的形式、内容、方法、手段是各不相同的，其表现也是各有其特点的，不可能千篇一律。我们不应满足于背诵“有限组成无限”、“通过有限去认识无限”的基本原理（或原则），而应运用辩证唯物主义的科学方法，在一般原则的指导下，对各种不同的情况和表现作出实事求是的、有说服力的辩证分析。

人们对现实世界的认识，首先是认识多种事物之间的质的差异。而任何具有特定质的事物，都离不开一定的量。没有一定质的量和没有一定量的质的事物，实际上都是不存在的。数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学，质数是我们所知道的最纯粹的量的规定。”但是，即使这种“最纯粹的量”和量的关系，也充满了质的差异。而我们对它的认识，就是从量中质的差异开始的。

数学史告诉我们，数学中最早是出现的数是整数 1、2、3⋯⋯，这是人们计算事物时最初的认识，它反映了事物的整体性，后来，由于实践的发展，使人们认识到事物不但有整体性，而且有可分性，数量关系也不仅仅局限于整数，于是产生了分数。分数与整数相比，既有联系但又有质的差异。例如

，它是整数2和3 2
在比率中所规定的一个新的数——分数。在 3 这个分数

中，可以用无限多的数如 4 和 6、6 与 9、8 与 12 等等来代替 2 和 3，而分数值并不改变，由于这种替代是无穷的，因此，分数相对整数就具有了无限性。展开来说，即由成对大小相当的整数组成的具有某一特定分数值的分数可以有无穷多，这也就是黑格尔所讲的“真正的无限”。

另一方面，我们也可以看到，在坐标轴上，整数的排列是稀疏的，而分数的排列则是稠密的。这种稠密性，本身就意味着在分数系统中不存在什么最小

1 1

的间隔，即使任何两个分数之间也一定还存在别的分数，如 2 和 3 之间就有

一个 5 1 1

12 ，它比 2 小，比 3 大，居于两者中间。实际上，任何两个分数之间不

只有一个分数，而是有无限多个。既然如此，一有限整数（即使是 1）包含着无限多个分数则更是无可怀疑的事实。

然而，数和形是紧密联系的，实践的进一步发展告诉我们，当我们说分数相对于整数具有无限性时，并不能说明任何两条线段之比都可以用两个整数之比来表达。当古希腊毕达哥拉斯学派为他们发现勾股定理而陶醉之时，却又发现边长为 1 的正方形对角线和它的一边尽管都是非常明确的几何对象，但用整数和分数却不能把它们的比表达出来，

即对角线

= 1.414

是无限不循环小数，不可能用任何整数和分数精确

地表达。因此， 2在分数范围内是无法确定的。所以表现出无限性；同时，

在别的关系如圆周长与直径之比中，也发现了这种无限性，这就是π＝3.1415

926

；还有自然对数的底数e(2倒)＝2.718281828459045

等，它们

都叫做无理数，从直观上看，它们（ 2、π、）都是有限的，但与它们相

应的具体数值 1.414⋯；3.1415926⋯；2.718⋯却是无限不循环小数，表现出其内在的无限性。

由上可知，整数、分数、无理数一开始就存在质的差异，具有各自不同的特定意义。而当它们在量上进行比较时，其差别则显现为无限性。正如恩格斯所说：“只要数学上谈到无限大和无限小，它就导入一个质的差异，这个差异甚至表现为不可克服的质的对立：量的相互差别太大了，甚至它们之间的每一种合理的关系，每一种比较都失效了，甚至它们变成在量上不可通约的了。”恩格斯并举例说明：“圆和直线的不可通约性也是辩证的质的差异；但是在这里，正是同一类数量的量的差异把质的差异提高到不可通约性”。恩格斯这里所说的“圆和直线”不可通约，实际上就是指圆的周长和直径之比除有量的差异（有限的曲线和线段）之外，也有表现为不可通约性

（不可能用整数和分数表示的无限不循环小数）的辩证的质的差异。而这一辩证的质的差异就是从量的差异中认识到的，即通过有限的曲线与线段之长的比中所把握和认识到的。

数学，总要从有限开始，因为在数学上，“为了达到不确定的、无限的东西，必须从确定的、有限的东西出发”。离开了有限，数学上就无从计算。

自然数是无限序列，它总要从 1、2、3、4、5⋯⋯开始计数，向无限推移，而决不可能像杜林那样，试图把无限序列 1、2、3、4⋯⋯倒过来数；实数轴是无限的，是可以向正负两个方向无限延伸的，但人们实际描绘出来的实数轴却总是有限长的，而且总是可以从任意确定的原点出发，向终端不确定的正

负方向无穷推移的； 3 是一个具有确定数值的整数比，但用小数来表示却是

位数无穷的 0.333⋯⋯。当我们两相比较并细心研究时，还可发现 0.333⋯⋯

不可能把 3 的无限性完全表达出来，因我们实际上只能写出它的有限位。可

见，正如这个有限的、确定的形式将无穷多的实数包罗无遗一样， 3 这个有

限的，确定的形式也把 0.333⋯⋯包罗无遗。即把它们各自能够表现出来的和不能表现出来的都包罗无遗。于是，达到了有限与无限的统一。

在微分学中，这种统一表现得更为复杂。我们知道，增量△x 和△y 是确

定的、有限的量，但其有限差值比 △y

取极限即有时

lim

△y ，亦即 △y

△x △x→0 △x △x

dy 的接近中，却是一个不确定的，无限趋近于零却又不等于零的量，表现为

一个无限的过程，这就是所谓潜无限，潜无限是从有限出发的，但它并不停留

在任何有限上，而是超越一个又一个的有限，向着 dy 永远止境的逼近过程。

在许多情况下，确定的、有限的东西还可以用无穷级数来展开。谁都知道，1 是个最简单的、确定的、有限的数，但它也可以展开为一个无穷级数的形式。

1 1 1 1

即 1 = 2 + 22 + 23 + 2n +

，右边无限项之和等于左边的1，按常识说，这是

荒谬的，但却是不容怀疑的事实。用我国古代哲学家庄子的话来说，这一等式的含义可形象地表述为；“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

在数学中，很多问题都需要把确定的、有限的东西展开为无穷级数来解决，而二项式定理就是一个十分有用的方法。在二项式定理的一般展开式

（a + x） n = a n + n a n−1x + n(n − 1) a n−2 x 2 + n(n − 1)( n − 2) a n−3 x3 + 中

1! 2! 3!

，当 n 不是自然数的时候，给它减去任何自然数永远不会等于零，所以这个展开式的项数就有无穷多，就是说，当 n 不是自然数时，（a＋x）n 的展开式是一个无穷级数。从此式中，我们可以清楚地看到，从总体上说，等式的左边是有限的、确定的东西，而等式的右边则是不确定的、无限的东西——

无限的过程和无限的层次。确定的、有限的东西等于不确定的、无限的东西，从形而上学的观点看，这是不可思议的，因为“把某个确定的数，例如把一个二项式化为无穷级数，即化为某种不确定的东西，从常识上来说，这是荒谬的举动”。然而，在有限与无限、确定与不确定的对立统一中，“计算方法的一切固定差别都消失了，一切都可以用相反的形式表示出来”，这恰恰就是辩证法。而且更深一步的研究，我们还可以发现，等式右边在总体上虽是不确定的，具有无限的过程、层次和推移，但其中的每一过程，每一层次，每一推移，则又是确定的、有限的，可以根据人们的需要任意地选取。

以上事实说明，有限和无限这对矛盾是互相依存的，它们在一定条件下各自向其对立面转化，具有自己特定的性质、意义和活动范围，“而这种从一个形式到另一个相反的形式的转变，并不是一种无聊的游戏，它是数学科学的最有力的杠杆，如果没有它，今天就几乎无法去进行一个比较困难的计算”。应该说，用有限的形式，表达无限的过程、层次和内容，用确定的东西去表现不确定的东西，可以作为数学中“通过有限认识无限”的一个重要的方法和途径。

恩格斯曾提出：“物质是按质量的相对的大小分成一系列较大的，容易分清的组，使每一组的各个组成部分互相间在质量方面都具有确定的、有限的比值，但对于邻近的组的各个组成部分则具有在数学意义下的无限大或无限小的比值”

这段话，首先应理解为整个物质世界具有无限多的层次。如果以地球作为出发点，向下有物体，分子，原子，原子核，质子，中子，基本粒子⋯⋯；向上有太阳系，银河系，总星系⋯⋯，在无限的宇宙整体中，这一个系列的两个方向的发展都是无止境的，在时间上无始无终，在空间上“至大无外，至小无内”这是第一层含义，它是理解和说明第二层含义的基础和前提。

第二层含义是这段话的主要含义，它是说，在无限层次和序列中，其中任一层次中的诸事物之间在质量方面是有边有际，有大有小的，具有确定的，有限的比值。然而，一旦我们超越这一特定的层次和界限，而去考察该层次与相邻层次的数量关系，那么，在衡量二者差异的天平上，一切砝码都将失去它应有的作用，一切都是不确定的，一切都只具有了相对的意义。⋯⋯太阳系相对于地球是无限大，地球相对于地面上的物体是无限大，地面上的物体相对于原子是无限大，原子相对于原子核是无限大⋯⋯，依此类推，未有穷尽，反之，⋯⋯原子核相对于原子，原子相对于地面物体，地面上的物体相对于地球⋯⋯，则均为无限小，而且，两个层次之间相距愈远，无限大或无限小的等级愈高。地面物体相对原子是一阶无穷大，相对于原子核则是二阶无穷大，而地球相对于原子核就成为三阶无穷大了⋯⋯。宇宙层次无限，物质无限可分，无限就可以有无限个等级。所以，无限都是相对而言的，都是在现实世界的一定的关系中才存在的。而数学中的有限和无限只不过是现实世界的客观内容在人们思想中的反映。

将以上两层含义综合起来，我们还不难发现，层次与层次之间，虽然存在着不同等级的无限大或无限小比值，它们是相对无限的数量关系。然而，将它们与整个宇宙相比，则不论是某一层次或某几个层次的总和，实际上都是有限的。只有宇宙本身是无限的，宇宙的层次是无限的，这才是真正的无限，绝对的无限。这一真正的无限，绝对的无限，人们是无法直接从总体上把握的，而是通过对一系列相对无限的数量关系的认识，向着绝对无限的王

国不断靠近的，这种靠近本身也是一个绝对无限的过程。

一切科学和知识都来自于人类认识世界和改造世界的客观实践。但在这一实践中产生的认识却不是一次完成的。它经过了从实践到认识，又由认识刻实践的多次循环往复的过程。在认识中，又经历着由感性到理性，由具体到抽象，由简单到复杂，由低级到高级的一系列辩证的过程。“我们在思想中把个别的东西从个别性提高到特殊性，然后再由特殊性提高到普遍性：我们从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来。然而普遍性的形式是自我完成的形式，因而是无限性的形式；它是把许多有限的东西综合为无限的东西。”

这里的“普遍性的形式”是什么意思呢？在自然界中，普遍性的形式是规律，是事物发展过程中内在的、本质的必然联系。而自然界中纷繁复杂，无限多样的事物和现象不过是客观规律的外在表现。人们认识世界，也首先就是认识各种各样的事物和现象，在此基础上，将已认识到的有限的感性材料经过去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里的一系列改造制作过程，产生飞跃，上升为理性认识，概括成为规律。可见，规律是从许多有限的材料中综合出来的，同时，规律既然是大量感性材料的综合，它必然具有普遍性和重复性的特点。所以一旦认识了规律，掌握了规律，就可以帮助我们更深刻，更全面地认识一切事物和现象，其表现为在条件具备的情况下可以无限次地起作用。这就是规律所具有的无限性。

在某种意义上，自然界所具有的普遍性的形式，反映到数学上，就是各种公式，定理和定义。例如，什么是圆？最初，人们只知道太阳，月亮，大树的横断面等具体的圆，并认为圆是世界上最完满，最完善的东西，是十全十美的，但却并没有从本质上给圆下出确切的定义。由于对具体的圆多次反复的认识和研究，人们才概括出。“圆是平面上一定直线（线段）绕自己固定的一个端点旋转所构成的图形”。这就把人们对个别的、特殊的、具体的、有限的圆的认识，上升到了一般性的意义上，具有了必然性和普遍性的特点。这种普遍性的形式，能把所有具体圆的本质和特点包罗无遗，因而具有了无限的意义。这就正如毛泽东同志所指出的，“感觉到的东西，我们不能马上理解它，只有理解了的东西，才能更深刻地感觉它”。因此，在这个意义上理解“通过有限认识无限”，也就是从个别到特殊，又由特殊上升到普遍和一般的认识过程。认识了这个一般和普遍，我们也就在全体上把握住了具体的，特殊的个别，也就是通过有限认识到了无限。

又如，人们在初等数学中，开始接触的是有限的、具体的、特殊的一元二次方程：x2－3＝0，2x2＋3X－1＝0，⋯⋯。后来才在认识具体方程的基础上，总结出一元二次方程的一般形式：

ax2+bx＋c＝0

而在解具体方程中，又进一步总结出一元二次方程的一般求根公式：

x = - b ±

b² − 4ac 2a

这样的情况，在数学中俯拾皆是，不胜枚举，这种从个别到特殊，又从

特殊上升到普遍和一般，即从有限认识无限的方法，不但在数学科学中十分重要，而且在任何具体科学的研究中，都是不可缺少的。

由探讨，我们就可以清楚地看到，“通过有限认识无限”有着十分丰富的内容，它包括认识的途径、方法、手段、过程、范围、性质⋯⋯各个方面。

它们在不同的事物中，在同一事物的不同过程中，其表现都是风格迥然相异，特点各有不同的。同时，这四个方面或说是这四个特点，在客观事物的实际发展中并不是互相分离、各自单独地起作用而表现出来的。实际上，在很多情况下，它们是紧密结合，相互渗透，互为补充的，是不能任意割裂开来的。只是人们在认识的过程中，往往从不同的角度、层次和方面对其进行研究和抽象，才使它们在人们的思维中互相区别开来。因此，我们在学习、理解和运用这一原理时，应根据具体情况具体分析，在辩证唯物主义一般原则的指导下，对不同的事物，不同的学科，不同的情况和表现进行深入细致的研究，在深入细致研究的基础上，再作出实事求是的有说服力的概括和论证，而决不能用一两句空洞的原则话，去抽象地笼统地说明和搬用。