微积分学的诞生

17 世纪的欧洲，数学界群星璀璨，英雄辈出！数学家们冲出了古希腊人严格证明的圣殿，以直观推断的思维方式，在无穷小演算和极限理论的基础上，创立了被恩格斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学。

英雄世纪的英雄谱上的第一个显赫人物，当推意大利的伽利略

（Galilei，G 1564～1642）。伽利略作为物理学家比作为数学家更为有名， 他因发现运动的惯性原理、摆振动的等时性及自由落体定律而名垂青史！

他作为数学家的功绩在于：他使阿基洣德的“穷竭法”思想，在淹没了2000 年后，重新焕发光辉！

古希腊阿基洣德的“穷竭法”，类同于我国数学家刘徽的割圆术。方法中用到的无穷小分析及“以直代曲”的极限思想，孕育着微积分的珠胎！

公元 1609 年，德国天文学家开普勒创造性地应用无穷小量求和的方法，

确定曲边图形的面积和体积。公元 1615 年，开普勒发表了《测量酒桶体积的

新方法》一文，一举求出了 392 种不同旋成体的体积。开普勒卓有成效的工作，对微积分的先驱者卡瓦列利、瓦里斯等人，产生了直接的影响。

公元 1635 年，意大利数学家卡瓦列利提出了确定面积和体积的新方法： 即把一条曲线，看成是由无数个点构成的图形，就像项链是由珠子穿成的一样；一个平面是由无数条平行线构成的图形，就像布是由线织成的一样；一个立体是由无数个平面构成的图形，就像书籍是由书页组成的一样。卡瓦列利的新颖构思，为微积分提供了雏形。

公元 1637 年，号称“怪杰”的法国数学家费尔马，创造了求切线斜率的新方法。费尔马把曲线上某一点切线的斜率，看成为该点坐标的两个增量比的极限。也就是说，曲线 y=f（x）上横坐标为 a 的点处的切线斜率 k：

k = lim

△x→0

f (a + △ x ) − f (a)

△ x

这实际上就是以后牛顿“流数”的定义！

微积分创立道路上的一个重要的里程碑，是解析几何的诞生。公元 1637 年，法国数学家笛卡儿（Descartes，1596～1650）建立了平面坐标系，从而使古典的几何学与代数学发生联系，并能用代数的方法解法。变数的出现， 使运动进入了数学，从而为微积分的研究，提供了最重要的工具！

笛卡儿的成就，使微积分创立的前驱工作加速了！公元 1655 年，英国数学家瓦里斯，运用代数的形式，分析学的方法及函数极限的理论，实际上提出了定积分的概念。下面让我们通过求抛物线所围图形的面积，一览瓦里斯这一出色的工作：

如图，设抛物线弧的方程为 y=cx2，曲边三角形的三个顶点是： O（o，o）；A（a，o）；B（a，ca2）。

把 OA 分为 n 等分，过分点作垂直于 OA 的直线与曲线相交，构成 n 个窄长方形。很明显，当等分数 n 无限增大时，图中窄长方形的面积之和，趋向一个有限值，这便是曲边三角形的面积 A。对于第 k 个窄长方

a

形而言（图中涂黑部分），易知其宽为 n ，高为c(

k a ) 2

n

，从而这一小长方形

的面积 Sk 为：

a ka

ca³

sk =

• c( )² =

n n

• k ²

n3

所有窄长方形面积之和s1+s2+s3+⋯+sk+⋯+sn

ca ³

2 2 2 2 2

= n 3 (1 + 2 + 3 + + k

ca ³ n

+ + n )

= n 3 · 6 (n + 1)(2n + 1)

ca ³ 1 1

= 6 (1 + n )(2 + n)

当 n 无限增大时，便得

A = lim (s1 + s2 + + sn )

n→∞

ca ³

= lim[ (1+

1 )(2 +

1 )] =

ca³

n→∞ 6 n n 3

注意到矩形 OABC 的面积为 ca3，从而抛物线弧恰好三等分矩形 OABC 的面积！

瓦里斯之后，英国青年数学家格雷戈里，进一步完善了极限运算的方法。格雷戈里对于无穷级数的深入研究，使他成为微积分发展的又一重要先驱者。

在两位微积分的创始人，英国的牛顿和德国的莱布尼兹出场之前，还要提到一个饮誉数坛的人物，英国数学家巴罗（Barrow，1630～1677）。巴罗是牛顿的老师，他的《几何学讲义》一书，使他的学生深受影响。巴罗对数学造诣颇深，他不仅发现了积、商和隐函数的微分法，而且第一个认识到微分与积分之间的互逆关系。

巴罗之所以名垂史册，还在于他的远见卓识。公元 1669 年 10 月 29 日， 巴罗突然提出辞去“卢卡斯教授”的席位，并推荐自己的学生，27 岁的牛顿继任。“卢卡斯教授”是英国剑桥大学授予最为卓越的自然科学家的荣誉席位。牛顿果然没有辜负他老师的厚望，在人类科学史上，成为一代宗师！

公元 1666 年 5 月 20 日，在牛顿的手稿上第一次出现了“流数术”一词。标志着英雄世纪英雄业绩的微积分学，终于正式宣告诞生了！